Resolva a equação diferencial de primeira ordem separável (2 pontos)
2 x d x+2 y d y=0 com y(1)=2

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável 2x,dx + 2y,dy = 0 com a condição inicial y(1)=2. Vamos usar a teoria de equações separáveis, que consiste em agrupar termos com x e dx de um lado e com y e dy do outro para então integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 2, reescrevemos a equação como x,dx + y,dy = 0. Nesse formato as variáveis já estão separadas e podemos integrar cada parte independentemente.
Integramos os dois termos:
integral x,dx + integral y,dy = integral 0\nIsso resulta em
x^22 + y^22 = C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para encontrar C, usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo em tfracx^22+tfracy^22=C temos
1^22 + 2^22 = 12 + 42 = 52
Logo, C=tfrac52 e a forma implícita da solução é
x^22 + y^22 = 52,
que equivale a x^2 + y^2 = 5.

Passo 4

A partir de x^2 + y^2 = 5 isolamos y:
y^2 = 5 - x^2
Como a condição inicial dá y(1)=2>0, escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada para a solução particular.

Resposta

y(x) = raiz5 - x^2

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