Determine c1 e c2 da função y(x)=c 1 sen x+c 2 cos x que satisfaça as condições subsidiárias.
y(0)=2 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $ na função $ y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x $ que atendem às condições dadas: $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 1 $. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas e derivadas para chegar nesses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição $ y(0) = 2 $. Isso significa que quando $ x = 0 $, a função $ y(x) $ deve ser igual a 2. Vamos substituir $ x $ por 0 na função:
y(0) = 2
Sabemos que $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
x = 0
Portanto, temos:
y(x)

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição: $ y’(0) = 1 $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y(x) $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $ e a derivada de $ \cos x $ é $ -\sin x $. Assim, a derivada de $ y(x) $ é:
y'(0) = 1
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
y(x)
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \sin(0) = 0 $, então:
sin x
Portanto, temos:
cos x

Resposta

Os valores são $ c_1 = 1 $ e $ c_2 = 2 $.

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