Ache o gradiente das seguintes funções: (Valor: 2,0 pontos)
(a) f(x, y)=8 x^{2}+10 x y^{2}-y^{3}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=8x^{2}+10x\,y^{2}-y^{3}.
Como você já sabe, o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Para calcular cada componente, vamos usar a regra de potência e, quando necessário, a regra do produto, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
A derivada de 8x^{2} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}\bigr)=16x.
A derivada de 10x\,y^{2} em relação a x trata y como constante, então
\frac{d}{dx}\bigl(10x\,y^{2}\bigr)=10\,y^{2}.
A derivada de -y^{3} em relação a x é zero, pois não depende de x. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x}=16x+10y^{2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
A derivada de 8x^{2} em relação a y é zero.
Para 10x\,y^{2}, tratamos x como constante e aplicamos regra de potência em y:
\frac{d}{dy}\bigl(10x\,y^{2}\bigr)=10x\cdot2y=20xy.
Para -y^{3}, temos
\frac{d}{dy}\bigl(-y^{3}\bigr)=-3y^{2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}=20xy-3y^{2}.

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(16x+10y^{2},\,20xy-3y^{2}\bigr).

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