Ache o gradiente das seguintes funções: (Valor: 2,0 pontos)
(b) f(x, y, z)=3 z \ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y,z)=3z\ln(x+y).
O conteúdo envolve derivadas parciais em três variáveis e aplicação da regra da cadeia para o logaritmo natural.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes e usamos
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x+y)\bigr]=\frac{1}{x+y}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =3z\cdot\frac{1}{x+y} =\frac{3z}{x+y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes. É análogo ao caso de x, pois
\frac{d}{dy}\bigl[\ln(x+y)\bigr] =\frac{1}{x+y},
resultando em
\frac{\partial f}{\partial y} =3z\cdot\frac{1}{x+y} =\frac{3z}{x+y}.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes. Como f=3z\ln(x+y) é linear em z, temos
\frac{\partial f}{\partial z} =3\ln(x+y).

Passo 5

Reunindo as derivadas parciais, o gradiente é o vetor
\nabla f(x,y,z) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =\Bigl(\frac{3z}{x+y},\,\frac{3z}{x+y},\,3\ln(x+y)\Bigr),
válido para x+y>0.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{3z}{x+y},\,\frac{3z}{x+y},\,3\ln(x+y)\Bigr).

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