Use o Teorema de Stokes para \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}-z \mathbf{j}+y \mathbf{k}, S é a parte do plano x+z=3 dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16, com orientação para cima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}-z\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k}.
  • A superfície S é a parte do plano x+z=3 contida no cilindro x^{2}+y^{2}=16.
  • A orientação de S é “para cima” (vetor normal com componente positiva em z).
  • A curva C é a fronteira de S; C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
O que o exercício pede: calcular \displaystyle \iint_{S} \operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS, onde \operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F} e \mathbf{n} é o versor normal compatível com a orientação dada.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Stokes (o que vamos usar): para uma superfície S suave com fronteira C orientada positivamente,
\iint_{S} (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Explicando rápido:
  • \nabla\times\mathbf{F} (rotacional ou curl) mede a “rotação local” de \mathbf{F}.
  • \mathbf{n}\,dS é o elemento de área orientado da superfície (vetor normal apontando segundo a orientação).
  • A orientação positiva de C é dada pela regra da mão direita em relação a \mathbf{n}: dedos tangem a curva no sentido da orientação enquanto o polegar indica \mathbf{n}.
Aqui podemos usar Stokes para trocar o integral de superfície pelo integral de linha, ou — como vamos ver — calcular diretamente o integral de superfície porque o rotacional é simples. Ambos são consistentes pelo Teorema de Stokes.

Passo 3

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Usando a definição \nabla\times\mathbf{F} = \big(\partial_y F_z-\partial_z F_y,\; \partial_z F_x-\partial_x F_z,\; \partial_x F_y-\partial_y F_x\big):
  • F_x = x,\; F_y = -z,\; F_z = y.
  • \partial_y F_z = \partial_y(y)=1.
  • \partial_z F_y = \partial_z(-z)=-1.
    Logo a primeira componente é 1-(-1)=2.
  • \partial_z F_x = \partial_z(x)=0.
  • \partial_x F_z = \partial_x(y)=0.
    Logo a segunda componente é 0-0=0.
  • \partial_x F_y = \partial_x(-z)=0.
  • \partial_y F_x = \partial_y(x)=0.
    Logo a terceira componente é 0-0=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F} = \langle 2,\,0,\,0\rangle.

Passo 4

Escolher como calcular \iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS. Como o rotacional é constante \langle 2,0,0\rangle, é conveniente calcular o integral de superfície diretamente por projeção no plano xy.
Representação do plano: x+z=3 \Longrightarrow z=3-x. Para uma superfície dada por z=g(x,y) com orientação para cima, o vetor área orientado é
\mathbf{n}\,dS = \langle -g_x,\,-g_y,\,1\rangle\,dA.
Aqui g_x=\partial_x(3-x)=-1 e g_y=\partial_y(3-x)=0. Então
\mathbf{n}\,dS = \langle -(-1),\,-0,\,1\rangle\,dA = \langle 1,\,0,\,1\rangle\,dA.
(Isto é o vetor área orientado — não está normalizado — e é apropriado para calcular \iint(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS via projeção no plano xy.)

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{n}\,dS):
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot(\mathbf{n}\,dS) =\langle 2,0,0\rangle\cdot\langle 1,0,1\rangle\,dA =2\cdot 1\,dA = 2\,dA.
Logo o integral de superfície reduz-se a
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} 2\,dA,
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 6

Descrever D: a projeção do pedaço do plano dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 é simplesmente o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.
A área de D é \pi \cdot 4^{2}=16\pi. Portanto
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \operatorname{Area}(D) = 2\cdot 16\pi = 32\pi.

Passo 7

Verificação (opcional, aplicando Stokes na forma de integral de linha): a fronteira C é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=16 com o plano z=3-x. Parâmetrizando por
\mathbf{r}(t)=\big(4\cos t,\;4\sin t,\;3-4\cos t\big),\qquad 0\le t\le 2\pi,
que é anti-horário visto de cima, e calculando \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} obtém-se também 32\pi (os termos com seno e cosseno integram para zero, sobrando 16 integrado em 0\ldots2\pi). Isso confirma o resultado pelo Teorema de Stokes.

Resposta

32\pi

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