Use o Teorema de Stokes para
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a parte do plano
dentro do cilindro
, com orientação para cima.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O campo vetorial é
. - A superfície
é a parte do plano contida no cilindro . - A orientação de
é “para cima” (vetor normal com componente positiva em ). - A curva
é a fronteira de ; é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
O que o exercício pede: calcular
, onde
e
é o versor normal compatível com a orientação dada.
Passo 2
Enunciando o Teorema de Stokes (o que vamos usar): para uma superfície
suave com fronteira
orientada positivamente,
Explicando rápido:
-
(rotacional ou curl) mede a “rotação local” de . -
é o elemento de área orientado da superfície (vetor normal apontando segundo a orientação). - A orientação positiva de
é dada pela regra da mão direita em relação a : dedos tangem a curva no sentido da orientação enquanto o polegar indica .
Aqui podemos usar Stokes para trocar o integral de superfície pelo integral de linha, ou — como vamos ver — calcular diretamente o integral de superfície porque o rotacional é simples. Ambos são consistentes pelo Teorema de Stokes.
Passo 3
Calcular o rotacional de
. Usando a definição
:
-
-
-
Logo a primeira componente é. -
-
Logo a segunda componente é. -
-
Logo a terceira componente é.
Portanto
Passo 4
Escolher como calcular
. Como o rotacional é constante
, é conveniente calcular o integral de superfície diretamente por projeção no plano
.
Representação do plano:
. Para uma superfície dada por
com orientação para cima, o vetor área orientado é
Aqui
e
. Então
(Isto é o vetor área orientado — não está normalizado — e é apropriado para calcular
via projeção no plano
.)
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Logo o integral de superfície reduz-se a
onde
é a projeção de
no plano
.
Passo 6
Descrever
: a projeção do pedaço do plano dentro do cilindro
é simplesmente o disco
A área de
é
. Portanto
Passo 7
Verificação (opcional, aplicando Stokes na forma de integral de linha): a fronteira
é a interseção do cilindro
com o plano
. Parâmetrizando por
que é anti-horário visto de cima, e calculando
obtém-se também
(os termos com seno e cosseno integram para zero, sobrando
integrado em
). Isso confirma o resultado pelo Teorema de Stokes.