Use o Teorema de Stokes para
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, orientada para cima.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
usando o Teorema de Stokes. Informações dadas:
- Campo vetorial
. - Superfície
é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro . - A orientação de
é para cima (vetor normal com componente positiva). - A curva de contorno
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, orientação positiva em relação ao normal para cima).
O que devemos entregar: o valor numérico de
.
Passo 2
Enunciando e explicando a ferramenta que vamos usar (passo didático): o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície
suave com contorno
orientada de forma compatível,
Aqui
é o rotacional (curl) de
,
é o versor normal compatível com a orientação de
, e
é o vetor tangente ao contorno. A vantagem prática: calcular a integral de linha ao longo da curva fechada
costuma ser mais simples quando
é um círculo, como é o caso aqui. A orientação “anti-horário vista de cima” corresponde exatamente à orientação positiva quando o normal de
aponta para cima.
Passo 3
Determinar a curva de contorno
. A interseção do paraboloide
com o cilindro
ocorre quando
, então
Logo
é o círculo de raio
no plano
. Parametrização conveniente (com orientação anti-horário vista de cima):
Então
Passo 4
Avaliar
ao longo de
. Em
temos
e
. Assim, substituindo
,
,
Com
,
,
, obtemos
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Temos
Portanto
Fatorando:
Passo 6
Calcular a integral de linha
. Observe que
Logo
Assim a integral fica
Avaliar nos limites:
e
, portanto
Logo a integral é
.
Passo 7
Concluir pelo Teorema de Stokes: como
, segue que