Use o Teorema de Stokes para \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} z^{2} \mathbf{i}+y^{2} z^{2} \mathbf{j}+x y z \mathbf{k}, S é parte do paraboloide z=-x^{2}-y^{2}+4 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9, orientada para cima.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície \iint_{S} \operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS usando o Teorema de Stokes. Informações dadas:
  • Campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}z^{2}\,\mathbf{i}+y^{2}z^{2}\,\mathbf{j}+xyz\,\mathbf{k}.
  • Superfície S é a parte do paraboloide z=-x^{2}-y^{2}+4 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9.
  • A orientação de S é para cima (vetor normal com componente z positiva).
  • A curva de contorno C=\partial S é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima (isto é, orientação positiva em relação ao normal para cima).
O que devemos entregar: o valor numérico de \iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Enunciando e explicando a ferramenta que vamos usar (passo didático): o Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície S suave com contorno C=\partial S orientada de forma compatível,
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui \operatorname{rot}\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F}, \mathbf{n} é o versor normal compatível com a orientação de C, e d\mathbf{r} é o vetor tangente ao contorno. A vantagem prática: calcular a integral de linha ao longo da curva fechada C costuma ser mais simples quando C é um círculo, como é o caso aqui. A orientação “anti-horário vista de cima” corresponde exatamente à orientação positiva quando o normal de S aponta para cima.

Passo 3

Determinar a curva de contorno C. A interseção do paraboloide z=-x^{2}-y^{2}+4 com o cilindro x^{2}+y^{2}=9 ocorre quando x^{2}+y^{2}=9, então
z=-9+4=-5.
Logo C é o círculo de raio 3 no plano z=-5. Parametrização conveniente (com orientação anti-horário vista de cima):
\mathbf{r}(t)=\bigl(3\cos t,\,3\sin t,\,-5\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=\bigl(-3\sin t,\,3\cos t,\,0\bigr)\,dt.

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo de C. Em C temos z=-5 e z^{2}=25. Assim, substituindo x=3\cos t, y=3\sin t,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=\bigl(x^{2}z^{2},\,y^{2}z^{2},\,xyz\bigr) = \bigl(25x^{2},\,25y^{2},\,-5xy\bigr).
Com x^{2}=9\cos^{2}t, y^{2}=9\sin^{2}t, xy=9\cos t\sin t, obtemos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=\bigl(225\cos^{2}t,\;225\sin^{2}t,\;-45\cos t\sin t\bigr).

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. Temos
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) =225\cos^{2}t\cdot(-3\sin t)+225\sin^{2}t\cdot(3\cos t)+(-45\cos t\sin t)\cdot 0.
Portanto
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) = -675\cos^{2}t\sin t + 675\sin^{2}t\cos t.
Fatorando:
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)=675\bigl(\sin^{2}t\cos t-\cos^{2}t\sin t\bigr).

Passo 6

Calcular a integral de linha \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt. Observe que
\sin^{2}t\cos t=\tfrac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{3}t\bigr), \qquad \cos^{2}t\sin t=-\tfrac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(\cos^{3}t\bigr).
Logo
\sin^{2}t\cos t-\cos^{2}t\sin t=\tfrac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{3}t+\cos^{3}t\bigr).
Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}675\cdot\tfrac{1}{3}\frac{d}{dt}\bigl(\sin^{3}t+\cos^{3}t\bigr)\,dt =225\bigl[\sin^{3}t+\cos^{3}t\bigr]_{0}^{2\pi}.
Avaliar nos limites: \sin(0)=0,\\ \cos(0)=1 e \sin(2\pi)=0,\\ \cos(2\pi)=1, portanto
\bigl[\sin^{3}t+\cos^{3}t\bigr]_{0}^{2\pi}= (0+1)-(0+1)=0.
Logo a integral é 225\cdot 0=0.

Passo 7

Concluir pelo Teorema de Stokes: como \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0, segue que
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=0.

Resposta

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