Calcule a integral de superfície \iint_{S} y d S, onde S é a parte do paraboloide y=x^{2}+z^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+z^{2}=25.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral de superfície \iint_{S} y\,dS.
  • A superfície S é a parte do paraboloide dada por \;y=x^{2}+z^{2}\; que está dentro do cilindro \;x^{2}+z^{2}=25.
  • Informação geométrica útil que eu peguei do enunciado:
    • A superfície é o gráfico de uma função y=g(x,z) com g(x,z)=x^{2}+z^{2}.
    • A projeção de S no plano xz é o disco \;D=\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le 25\}, ou seja, raio 5.
Resumo do que vou calcular: a integral da função escalar f(x,y,z)=y sobre a superfície S, usando a descrição como gráfico y=g(x,z) e integrando sobre a projeção D no plano xz.

Passo 2

Fórmula e explicação do elemento de área da superfície (dS) para um gráfico.
  • Se uma superfície é dada como gráfico \;y=g(x,z), a área elementar da superfície é
dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{2}}\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xz (isto é, dA=dx\,dz). Explicação breve: essa fórmula vem da norma do produto vetorial entre os vetores tangentes (1, g_x, 0) e (0, g_z, 1) ou, geometricamente, mede quanto o pedaço de superfície se estica em relação ao pedaço projetado no plano.
  • Aqui g(x,z)=x^{2}+z^{2}. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=2z.
  • Então
\sqrt{1+g_x^{2}+g_z^{2}}=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2z)^{2}}=\sqrt{1+4(x^{2}+z^{2})}.
  • O integrando da integral de superfície é y\,dS. Como na superfície y=g(x,z)=x^{2}+z^{2}, temos o integrando em termos de x,z:
y\,dS=(x^{2}+z^{2})\sqrt{1+4(x^{2}+z^{2})}\;dA.

Passo 3

Troca para coordenadas polares no plano xz (porque a projeção é um disco).
  • Introduzo coordenadas polares no plano xz:
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge 0 e 0\le \theta<2\pi. Aqui r^{2}=x^{2}+z^{2}.
  • O elemento de área no plano xz fica dA = r\,dr\,d\theta (isso é o jacobiano da mudança de coordenadas polares).
  • Em termos de r,\theta:
    • x^{2}+z^{2}=r^{2},
    • \sqrt{1+4(x^{2}+z^{2})}=\sqrt{1+4r^{2}},
    • portanto o integrando fica
(x^{2}+z^{2})\sqrt{1+4(x^{2}+z^{2})}\,dA = r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\; (r\,dr\,d\theta) = r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.
  • Limites: r vai de 0 até 5 (pois x^{2}+z^{2}\le 25) e \theta de 0 a 2\pi.
Assim a integral torna-se
\iint_{S} y\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 4

Separar a integral em \theta e r e simplificar.
  • A integral em \theta é trivial porque o integrando não depende de \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{5} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 5

Calcular a integral em r por substituição.
  • Faço a substituição
u = 1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 8r\,dr.
  • Preciso escrever r^{3}\,dr em termos de u. Note que r^{2}=\dfrac{u-1}{4} e r\,dr = \dfrac{du}{8}. Então
r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = \frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8} = \frac{u-1}{32}\,du.
  • O fator \sqrt{1+4r^{2}}=\sqrt{u}. Portanto o integrando r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr vira \dfrac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du.
  • Limites em u: quando r=0, u=1; quando r=5, u=1+4\cdot 25=101.
  • Assim
\int_{0}^{5} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr = \int_{1}^{101} \frac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du = \frac{1}{32}\int_{1}^{101} (u^{3/2}-u^{1/2})\,du.

Passo 6

Calculo da primitiva e avaliação nos limites.
  • Primitivas:
\int u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Então
\frac{1}{32}\int_{1}^{101} (u^{3/2}-u^{1/2})\,du = \frac{1}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{101}.
  • Multiplicando pelo 2\pi que estava fora, a integral total vale
\iint_{S} y\,dS = 2\pi\cdot \frac{1}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{101}.
  • Simplifico constantes: 2\pi\cdot \dfrac{1}{32}=\dfrac{\pi}{16} e há fatores 2 dentro dos colchetes que podem simplificar, levando a uma forma compacta. Após simplificação e avaliação em u=101 e u=1 obtemos a forma fechada
\iint_{S} y\,dS = \frac{\pi}{120}\left(3\cdot 101^{5/2} - 5\cdot 101^{3/2} + 2\right).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • O resultado é uma quantidade positiva, como esperado (integrando y\ge 0 sobre uma superfície acima do plano xz).
  • A expressão dada é exata; se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se calcular 101^{1/2} e elevar conforme a fórmula, mas para a prova a forma exata é preferível.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{120}\left(3\cdot 101^{5/2} - 5\cdot 101^{3/2} + 2\right)

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