Calcule a integral de superfície
, onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral de superfície
. - A superfície
é a parte do paraboloide dada por que está dentro do cilindro . - Informação geométrica útil que eu peguei do enunciado:
- A superfície é o gráfico de uma função
com . - A projeção de
no plano é o disco , ou seja, raio .
- A superfície é o gráfico de uma função
Resumo do que vou calcular: a integral da função escalar
sobre a superfície
, usando a descrição como gráfico
e integrando sobre a projeção
no plano
.
Passo 2
Fórmula e explicação do elemento de área da superfície (dS) para um gráfico.
- Se uma superfície é dada como gráfico
, a área elementar da superfície é
onde
é o elemento de área no plano
(isto é,
). Explicação breve: essa fórmula vem da norma do produto vetorial entre os vetores tangentes
e
ou, geometricamente, mede quanto o pedaço de superfície se estica em relação ao pedaço projetado no plano.
- Aqui
. Calculo as derivadas parciais:
- Então
- O integrando da integral de superfície é
. Como na superfície , temos o integrando em termos de :
Passo 3
Troca para coordenadas polares no plano
(porque a projeção é um disco).
- Introduzo coordenadas polares no plano
:
com
e
. Aqui
.
- O elemento de área no plano
fica (isso é o jacobiano da mudança de coordenadas polares). - Em termos de
: -
, -
, - portanto o integrando fica
-
- Limites:
vai de até (pois ) e de a .
Assim a integral torna-se
Passo 4
Separar a integral em
e
e simplificar.
- A integral em
é trivial porque o integrando não depende de :
Passo 5
Calcular a integral em
por substituição.
- Faço a substituição
- Preciso escrever
em termos de . Note que e . Então
- O fator
. Portanto o integrando vira . - Limites em
: quando , ; quando , . - Assim
Passo 6
Calculo da primitiva e avaliação nos limites.
- Primitivas:
- Então
- Multiplicando pelo
que estava fora, a integral total vale
- Simplifico constantes:
e há fatores dentro dos colchetes que podem simplificar, levando a uma forma compacta. Após simplificação e avaliação em e obtemos a forma fechada
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
- O resultado é uma quantidade positiva, como esperado (integrando
sobre uma superfície acima do plano ). - A expressão dada é exata; se for necessário um valor numérico aproximado, pode-se calcular
e elevar conforme a fórmula, mas para a prova a forma exata é preferível.