1. Ache a inclinação da reta tangente à curva da interseção da superfície z=12 raiz24-x^2-2 y^2 com o plano y=2, no ponto (2,2).
    (Sol. -12 raiz3 )

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção da superfície z=tfrac12raiz24 - x^2 - 2y^2 com o plano y=2 no ponto de abscissa x=2. Isso equivale a calcular dz/dx mantendo y=2, usando derivadas de função de uma variável e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro substituímos y=2 na expressão de z para obter z como função de x só:
z(x)=tfrac12raiz24 - x^2 - 2cdot2^2=tfrac12raiz24 - x^2 - 8=tfrac12raiz16 - x^2

Passo 3

Agora derivamos z(x) em relação a x aplicando a regra da cadeia:
dzdx=12cdot12raiz16 - x^2cdot(-2x)= -x2raiz16 - x^2

Passo 4

Por fim, avaliamos em x=2:
dzdx|x=2= -22raiz16 - 4= -22raiz12= -12raiz3

Resposta

-\frac{1}{2\sqrt{3}}

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