Encontre as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão:
Passo 1
Resumo: vamos analisar a função
. O conteúdo envolve estudo de curva: determinar domínio, assíntotas, intervalos de monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão. Para isso vamos precisar dos limites nos extremos do domínio, da primeira derivada
e da segunda derivada
.
Passo 2
Domínio: exigimos
(para
) e
, ou seja
. Logo o domínio é
Passo 3
Assíntotas verticais e horizontais: como
, temos
e
logo há assíntota vertical em
. Como
,
e
portanto há assíntota vertical em
. Não há assíntotas horizontais, pois o domínio não se estende a
.
Passo 4
Monotonicidade: calculamos a primeira derivada.
No domínio
temos
, logo o denominador é positivo e
para todo
. Assim
é estritamente decrescente em
.
Passo 5
Concavidade: derivamos de novo. Denotando
, temos
onde
Logo
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é o de
:
- para
, então (concavidade para cima); - para
, então (concavidade para baixo).
Passo 6
Ponto de inflexão: ocorre onde
, isto é
em
. Nesse ponto
. Logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
Assíntotas verticais em x=0 e x=e; nenhuma assíntota horizontal. g é decrescente em (0,e). Concava para cima em (0,1) e para baixo em (1,e). Ponto de inflexão em (1,0).