Encontre as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos de crescimento e decrescimento, os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão:
g(x)=ln (1-ln x)

Passo 1

Resumo: vamos analisar a função g(x)=lnl(1-ln xr). O conteúdo envolve estudo de curva: determinar domínio, assíntotas, intervalos de monotonicidade, concavidade e pontos de inflexão. Para isso vamos precisar dos limites nos extremos do domínio, da primeira derivada g' e da segunda derivada g''.

Passo 2

Domínio: exigimos x>0 (para ln x) e 1-ln x>0, ou seja ln x<1. Logo o domínio é
(0,e)

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais: como xto0^+, temos ln xto-infty e
g(x)=lnl(1-ln xr)toln(+infty)=+infty,
logo há assíntota vertical em x=0. Como xto e^-, ln xto1^- e
g(x)toln(0^+)= -infty,
portanto há assíntota vertical em x=e. Não há assíntotas horizontais, pois o domínio não se estende a pminfty.

Passo 4

Monotonicidade: calculamos a primeira derivada.
g'(x)=ddxlnl(1-ln xr) =11-ln xcdotl(-tfrac1xr) =-1x,(1-ln x)
No domínio x>0 temos 1-ln x>0, logo o denominador é positivo e g'(x)<0 para todo xin(0,e). Assim g é estritamente decrescente em (0,e).

Passo 5

Concavidade: derivamos de novo. Denotando u(x)=x,(1-ln x), temos
g'(x)=-u(x)^-1,
g''(x)=u'(x)u(x)^2,
onde
u'(x)=1-l(ln x+1r)=-ln x
Logo
g''(x)=-ln xl[x,(1-ln x)r]^2
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de g'' é o de -ln x:
  • para 0, ln x<0 então g''(x)>0 (concavidade para cima);
  • para 1, ln x>0 então g''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 6

Ponto de inflexão: ocorre onde g''(x)=0, isto é -ln x=0 em x=1. Nesse ponto g(1)=ln(1-0)=0. Logo o ponto de inflexão é (1,0)).

Resposta

Assíntotas verticais em x=0 e x=e; nenhuma assíntota horizontal. g é decrescente em (0,e). Concava para cima em (0,1) e para baixo em (1,e). Ponto de inflexão em (1,0).

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