Questão 2

a. Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
b. Provar que a equação 3 x^4-5 x^3+2 x^2+6 x=4 tem pelo menos uma solução real.

Passo 1

A questão pede duas coisas: primeiro enunciar o Teorema do Valor Intermediário e depois usar esse teorema para mostrar que a equação 3x^4-5x^3+2x^2+6x=4 tem pelo menos uma solução real. O conteúdo é análise de funções contínuas e vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de raiz.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b] e se L é um valor entre f(a) e f(b), então existe um cin[a,b] tal que f(c)=L. Mais formalmente:
Se L é contínua e minf(a),f(b)<= L<=maxf(a),f(b) satisfaz cin[a,b],
então existe f(c)=L com .

Passo 3

Definimos a função f(x)=3x^4-5x^3+2x^2+6x-4. Note que f é um polinômio, e todo polinômio é contínuo em R.

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avaliamos f em dois pontos: em x=0 e em x=1.
Em x=0 temos:
f(0)=3cdot0^4-5cdot0^3+2cdot0^2+6cdot0-4=-4
Em x=1 temos:
f(1)=3cdot1^4-5cdot1^3+2cdot1^2+6cdot1-4=3-5+2+6-4=2

Passo 5

Percebemos que f(0)=-4<0 e f(1)=2>0. Como 0 está entre -4 e 2, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,1) tal que f(c)=0. Isso significa que a equação original 3x^4-5x^3+2x^2+6x=4 tem pelo menos uma solução real nesse intervalo.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(0,1) tal que 3c^4-5c^3+2c^2+6c=4, logo a equação tem pelo menos uma solução real.

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