Questão 2
a. Enunciar o Teorema do Valor Intermediário.
b. Provar que a equação
tem pelo menos uma solução real.
b. Provar que a equação
Passo 1
A questão pede duas coisas: primeiro enunciar o Teorema do Valor Intermediário e depois usar esse teorema para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo é análise de funções contínuas e vamos precisar do Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de raiz.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e se
é um valor entre
e
, então existe um
tal que
. Mais formalmente:
Se
é contínua e
satisfaz
,
então existe com
.
então existe
Passo 3
Definimos a função
. Note que
é um polinômio, e todo polinômio é contínuo em
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, avaliamos
em dois pontos: em
e em
.
Em
temos:
Em
temos:
Passo 5
Percebemos que
e
. Como
está entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
. Isso significa que a equação original
tem pelo menos uma solução real nesse intervalo.
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
, logo a equação tem pelo menos uma solução real.