Se
for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área
de
é dada pela formula
Use a fórmula
para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
e
.
Passo 1
O enunciado pede primeiro mostrar que, para uma região plana R onde vale o Teorema de Green, a área pode ser escrita como
e depois usar essa fórmula para calcular a área da curva paramétrica
Vamos usar o Teorema de Green e uma parametrização adequada.
Passo 2
Para deduzir a fórmula da área, aplicamos o Teorema de Green a um campo vetorial
no contorno
:
Se escolhermos
e
, então
e portanto
Isolando
vem
Passo 3
Agora parametrizamos o contorno usando
:
0\le\theta\le2\pi.
$$
Passo 4
Calculamos as derivadas:
\frac{dy}{d\theta}=3a\sin^2\theta\cos\theta.
$$
Passo 5
Escrevemos o integrando:
Simplificando:
Passo 6
Agora a área é
Usando
e sabendo que em um período completo
, temos
Resposta
A = \frac{3\pi a^2}{8}