Se R for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área A de R é dada pela formula
A=12 ointpartial R-y dx+x dy
Use a fórmula (*) para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
x=a cos ^3 theta e y=a sen^3 theta, 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede primeiro mostrar que, para uma região plana R onde vale o Teorema de Green, a área pode ser escrita como
A=12ointpartial R(-y,dx + x,dy)
e depois usar essa fórmula para calcular a área da curva paramétrica
x=acos^3theta, y=asin^3theta, 0<=theta<=2pi
Vamos usar o Teorema de Green e uma parametrização adequada.

Passo 2

Para deduzir a fórmula da área, aplicamos o Teorema de Green a um campo vetorial F=(P,Q) no contorno partial R:
ointpartial RP,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA
Se escolhermos P=-tfrac y2 e Q=tfrac x2, então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=12+12=1
e portanto
ointpartial Rl(- y2,dx+ x2,dyr)=integral duplaR1,dA=A
Isolando A vem
A=12ointpartial R(-y,dx+x,dy)

Passo 3

Agora parametrizamos o contorno usando theta:
x(theta)=acos^3theta, y(theta)=asin^3theta, $$
0\le\theta\le2\pi.
$$

Passo 4

Calculamos as derivadas:
dxdtheta=-3acos^2thetasintheta, $$
\frac{dy}{d\theta}=3a\sin^2\theta\cos\theta.
$$

Passo 5

Escrevemos o integrando:
-y,dx+x,dy=-l(asin^3thetar)(-3acos^2thetasintheta)dtheta+l(acos^3thetar)(3asin^2thetacostheta)dtheta
Simplificando:
=3a^2sin^4thetacos^2theta,dtheta+3a^2cos^4thetasin^2theta,dtheta
=3a^2sin^2thetacos^2theta(sin^2theta+cos^2theta),dtheta=3a^2sin^2thetacos^2theta,dtheta

Passo 6

Agora a área é
A=12integral0^2pi3a^2sin^2thetacos^2theta,dtheta=3a^22integral0^2pisin^2thetacos^2theta,dtheta
Usando sin^2thetacos^2theta=tfrac14sin^2(2theta) e sabendo que em um período completo integral0^2pisin^2(2theta)dtheta=pi, temos
A=3a^22cdot14cdotpi=3pi a^28

Resposta

A = \frac{3\pi a^2}{8}

Exercícios relacionados