Ache a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície 36 x^{2}-9 y^{2}+4 z^{2}+36=0 com o plano x=1, no ponto ( 1, \sqrt{12},-3 ). Intérprete essa inclinação como uma derivada parcial.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
36x^{2}-9y^{2}+4z^{2}+36=0
e o plano x=1. Pede-se:
achar a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x=1 no ponto (1,\sqrt{12},-3);
interpretar essa inclinação como uma derivada parcial.
Informações relevantes fornecidas:
equação da superfície: 36x^{2}-9y^{2}+4z^{2}+36=0;
plano que corta a superfície: x=1;
ponto onde queremos a tangente: (1,\sqrt{12},-3).
Passo 2
Primeiro reduzo a equação da interseção substituindo x=1 na equação da superfície para obter a curva no plano x=1. Substituindo:
36\cdot1^{2}-9y^{2}+4z^{2}+36=0.
Isso dá
72-9y^{2}+4z^{2}=0.
Rearranjando para isolar z^{2},
4z^{2}=9y^{2}-72
e
z^{2}=\frac{9}{4}y^{2}-18.
Também verifico que o ponto dado pertence à curva: como y=\sqrt{12}, tem-se y^{2}=12, então
\frac{9}{4}\cdot 12 - 18 = 27-18=9,
logo z^{2}=9 e z=\pm 3. O ponto informado tem z=-3, portanto está na curva (ramo negativo de z).
Passo 3
O plano x=1 é fixo, então a curva de interseção pode ser vista no plano (y,z) como uma curva implícita dada por
G(y,z)=72-9y^{2}+4z^{2}=0.
A inclinação da reta tangente a essa curva, vista no plano (y,z), é a derivada \dfrac{dz}{dy} quando x é mantido constante em 1. Em palavras: quanto z muda quando y muda um pouco, com x fixo.
Passo 4
Vou obter \dfrac{dz}{dy} por diferenciação implícita de 72-9y^{2}+4z^{2}=0, tratando z como função de y (isto é, z=z(y)). Derivando ambos os lados em relação a y:
derivada de 72 é 0;
derivada de -9y^{2} é -18y;
derivada de 4z^{2} usa a regra da cadeia: \dfrac{d}{dy}(4z^{2})=8z\cdot \dfrac{dz}{dy}.
Assim obtemos
-18y + 8z\frac{dz}{dy}=0.
Isolando \dfrac{dz}{dy},
\frac{dz}{dy}=\frac{18y}{8z}=\frac{9y}{4z}.
Aqui vale um lembrete didático rápido: a regra da cadeia diz que ao derivar uma função composta como z(y)^{2} deve-se multiplicar pela derivada interna dz/dy. Por isso aparece o fator 8z\cdot dz/dy.
Passo 5
Agora avalio a expressão \dfrac{dz}{dy}=\dfrac{9y}{4z} no ponto (y,z)=(\sqrt{12},-3).
Primeiro escrevo y=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. Então
Logo a inclinação da reta tangente à curva de interseção no ponto dado é -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.
Passo 6
Interpretação como derivada parcial: considere F(x,y,z)=36x^{2}-9y^{2}+4z^{2}+36. Pela teoria da função implícita, se F_{z}\neq 0 então localmente pode-se escrever z como uma função de x,y e vale
que é exatamente a expressão obtida pela diferenciação implícita. Portanto a inclinação encontrada é precisamente a derivada parcial \dfrac{\partial z}{\partial y} no ponto (1,\sqrt{12},-3): a taxa de variação de z em relação a y mantendo x constante. O sinal negativo indica que, ao aumentar y um pouco, z diminui naquele ponto (porque \dfrac{\partial z}{\partial y}<0).