Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
\int_{\gamma}\left(x^{4}-y^{3}\right) d x+\left(x^{3}+y^{5}\right) d y
numa integral dupla e calcule, onde \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha sobre a curva fechada \gamma:
\int_{\gamma}\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)\,dx+\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)\,dy,
onde \gamma(t)=(\cos t,\operatorname{sen} t) com 0\le t\le2\pi.
O que se pede:
  • transformar essa integral de linha numa integral dupla usando o Teorema de Green;
  • calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
  • P(x,y)=x^{4}-y^{3} e Q(x,y)=x^{3}+y^{5};
  • a curva \gamma é a circunferência unitária parametrizada por \gamma(t) para 0\le t\le2\pi, que percorre o círculo no sentido anti-horário (orientação positiva);
  • portanto a região D limitada por \gamma é o disco fechado de raio 1: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 2

Enunciando o Teorema de Green (forma usada aqui): se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região aberta que contém D e \gamma é a fronteira simples, fechada e positivamente orientada de D, então
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando: \frac{\partial Q}{\partial x} significa a derivada parcial de Q em relação a x mantendo y fixo; \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y. A integral dupla é sobre a área da região D.
Aqui P e Q são polinômios, logo possuem derivadas parciais contínuas em toda parte, e \gamma é a fronteira do disco unitário com orientação positiva, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)=3x^{2},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)=-3y^{2}.
Agora formar a diferença:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3x^{2}-(-3y^{2})=3x^{2}+3y^{2}=3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Aplicando Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco unitário D:
\int_{\gamma}\bigl(x^{4}-y^{3}\bigr)\,dx+\bigl(x^{3}+y^{5}\bigr)\,dy =\iint_{D}3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.
Então reduzimos o problema a calcular essa integral de área.

Passo 5

Para integrar sobre o disco unitário é natural usar coordenadas polares. Lembrando as fórmulas:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. Nesta mudança x^{2}+y^{2}=r^{2}. Substituindo no integrando:
3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = 3r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = 3r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral dupla em polares:
\iint_{D}3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em r primeiro:
\int_{0}^{1}3r^{3}\,dr=3\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{4}\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot(2\pi)=\frac{3\pi}{2}.

Passo 7

Conclusão: a integral de linha original transformada pela aplicação do Teorema de Green resulta na integral dupla cujo valor calculado é \dfrac{3\pi}{2}. Boa! Está resolvido — método direto e eficiente para curvas fechadas como esta.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}

Exercícios relacionados