Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha sobre a curva fechada
:
onde
com
.
O que se pede:
O que se pede:
- transformar essa integral de linha numa integral dupla usando o Teorema de Green;
- calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
-
e ; - a curva
é a circunferência unitária parametrizada por para , que percorre o círculo no sentido anti-horário (orientação positiva); - portanto a região
limitada por é o disco fechado de raio : .
Passo 2
Enunciando o Teorema de Green (forma usada aqui): se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região aberta que contém
e
é a fronteira simples, fechada e positivamente orientada de
, então
Explicando:
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
. A integral dupla é sobre a área da região
.
Aqui e
são polinômios, logo possuem derivadas parciais contínuas em toda parte, e
é a fronteira do disco unitário com orientação positiva, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Aqui
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando:
Agora formar a diferença:
Passo 4
Aplicando Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco unitário
:
Então reduzimos o problema a calcular essa integral de área.
Passo 5
Para integrar sobre o disco unitário é natural usar coordenadas polares. Lembrando as fórmulas:
com
e
. Nesta mudança
. Substituindo no integrando:
Passo 6
Calcular a integral dupla em polares:
Fazendo a integral em
primeiro:
Agora a integral em
:
Passo 7
Conclusão: a integral de linha original transformada pela aplicação do Teorema de Green resulta na integral dupla cujo valor calculado é
. Boa! Está resolvido — método direto e eficiente para curvas fechadas como esta.