(a) O campo vetorial F(x, y)=\left(2 x+y, 3 y^{2}+x\right) é conservativo? Justifique.
(b) O campo vetorial F(x, y, z)=\left(x-y, x+y+z, z^{2}\right) é conservativo? Justifique.
(c) Calcule \int_{\gamma} F d \gamma, onde \gamma é um arco de hipérbole com ponto inicial ( 1,0 ) e ponto final (0,2) e F é o campo dado no item (a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
  • (a) Dado o campo vetorial \,F(x,y)=(2x+y,\;3y^{2}+x)\,. Pergunta: este campo é conservativo? Justificar.
  • (b) Dado o campo vetorial \,F(x,y,z)=(x-y,\;x+y+z,\;z^{2})\,. Pergunta: este campo é conservativo? Justificar.
  • (c) Calcular \displaystyle \int_{\gamma} F\;d\gamma, onde \gamma é um arco de hipérbole com ponto inicial (1,0) e ponto final (0,2), e F é o campo do item (a).
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões explícitas de F nos itens (a) e (b) (já escritas acima).
  • Para o item (c): os pontos inicial e final do caminho são (1,0) e (0,2); o caminho é um arco de hipérbole (mas a curva exata não é necessária se o campo for conservativo).

Passo 2

Entendendo como testar se um campo em duas variáveis é conservativo (fórmula e regra prática).
  • Se um campo em \mathbb{R}^{2} é F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) e está definido em todo \mathbb{R}^{2} (ou em uma região simplesmente conexa), então uma condição prática necessária e suficiente é:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Intuição rápida: se F=\nabla \varphi para alguma função potencial \varphi, então \partial^{2}\varphi/(\partial y\partial x)=\partial^{2}\varphi/(\partial x\partial y), o que resulta na igualdade acima (teorema das derivadas mistas). Em domínios simplesmente conexos a condição recíproca vale também.
    Aplicaremos isso ao item (a).

Passo 3

Aplicando o teste no item (a).
  • Aqui P(x,y)=2x+y e Q(x,y)=3y^{2}+x.
  • Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3y^{2}+x)=1.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} e o campo está definido em todo \mathbb{R}^{2} (região simplesmente conexa), concluímos que F é conservativo. Agora vamos encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F.

Passo 4

Encontrando a função potencial \varphi para o item (a) (passo a passo).
  • Se \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(2x+y,\;3y^{2}+x), então integramos \phi_x=2x+y em relação a x:
\varphi(x,y)=\int (2x+y)\,dx = x^{2}+xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
  • Agora diferenciamos essa expressão em relação a y e igualamos a \phi_y:
\phi_y(x,y)=x + h'(y) \stackrel{!}{=} 3y^{2}+x.
  • Isso dá h'(y)=3y^{2}. Integrando em y:
h(y)=\int 3y^{2}\,dy = y^{3}+C,
onde C é constante real.
  • Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}+C.
(Para propósitos de integrais de linha a constante C não importa.)

Passo 5

Concluir item (a) e apresentar resultado didático.
  • Resumo: o campo do item (a) é conservativo porque \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=1 em todo \mathbb{R}^{2}. Uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}+C.

Passo 6

Testando o item (b) em \mathbb{R}^{3}: usar o rotacional (curl).
  • Em \mathbb{R}^{3} um campo F=(P,Q,R) é conservativo (isto é, existe \varphi com F=\nabla\varphi) em uma região simplesmente conexa se, e somente se, o rotacional é nulo:
\nabla\times F=\mathbf{0}.
  • A fórmula das componentes do rotacional é
\nabla\times F=\Big( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Aplicaremos isso ao campo F(x,y,z)=(x-y,\;x+y+z,\;z^{2}).

Passo 7

Calcular \nabla\times F no item (b) (contas detalhadas).
  • Identificando P=x-y,\;Q=x+y+z,\;R=z^{2}.
  • Componentes:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z^{2})=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x+y+z)=1,
logo primeira componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-1=-1.
  • Segunda componente:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x-y)=0, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=0,
logo segunda componente 0-0=0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1,
logo terceira componente 1-(-1)=2.
  • Então
\nabla\times F = (-1,\;0,\;2),
que é diferente do vetor nulo.

Passo 8

Concluir item (b) com justificativa.
  • Como \nabla\times F\neq\mathbf{0} (especificamente a primeira e a terceira componentes não são zero), o campo não é conservativo em \mathbb{R}^{3}. Portanto não existe função potencial global \varphi com F=\nabla\varphi.

Passo 9

Calcular a integral de linha do item (c) usando o teorema fundamental para gradientes.
  • No item (a) já demonstramos que F é conservativo e encontramos uma função potencial \varphi(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}+C.
  • O teorema fundamental das integrais de linha (para campos gradiente) diz que, se F=\nabla\varphi, então para qualquer curva \gamma de ponto A até B:
\int_{\gamma} F\;d\gamma = \varphi(B)-\varphi(A).
  • Aqui A=(1,0) e B=(0,2). Usamos \varphi(x,y)=x^{2}+xy+y^{3} (escolhendo C=0 para simplicidade).
  • Calcular \varphi(B) e \varphi(A):
\varphi(0,2)=0^{2}+0\cdot 2 + 2^{3}=8, \qquad \varphi(1,0)=1^{2}+1\cdot 0 + 0^{3}=1.
  • Portanto
\int_{\gamma} F\;d\gamma = \varphi(0,2)-\varphi(1,0)=8-1=7.

Resposta

(a) Sim. Uma função potencial é \varphi(x,y)=x^{2}+xy+y^{3}+C.
(b) Não. \nabla\times F = (-1,0,2)\neq\mathbf{0}, logo não é conservativo.
(c) \displaystyle \int_{\gamma} F\,d\gamma = 7

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