(a) O campo vetorial
é conservativo? Justifique.
(b) O campo vetorial
é conservativo? Justifique.
(c) Calcule
, onde
é um arco de hipérbole com ponto inicial ( 1,0 ) e ponto final
e
é o campo dado no item (a).
(b) O campo vetorial
(c) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item.
- (a) Dado o campo vetorial
. Pergunta: este campo é conservativo? Justificar. - (b) Dado o campo vetorial
. Pergunta: este campo é conservativo? Justificar. - (c) Calcular
, onde é um arco de hipérbole com ponto inicial e ponto final , e é o campo do item (a).
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões explícitas de
nos itens (a) e (b) (já escritas acima). - Para o item (c): os pontos inicial e final do caminho são
e ; o caminho é um arco de hipérbole (mas a curva exata não é necessária se o campo for conservativo).
Passo 2
Entendendo como testar se um campo em duas variáveis é conservativo (fórmula e regra prática).
- Se um campo em
é e está definido em todo (ou em uma região simplesmente conexa), então uma condição prática necessária e suficiente é:
- Intuição rápida: se
para alguma função potencial , então , o que resulta na igualdade acima (teorema das derivadas mistas). Em domínios simplesmente conexos a condição recíproca vale também.
Aplicaremos isso ao item (a).
Passo 3
Aplicando o teste no item (a).
- Aqui
e . - Calcular as derivadas parciais:
- Como
e o campo está definido em todo (região simplesmente conexa), concluímos que é conservativo. Agora vamos encontrar uma função potencial tal que .
Passo 4
Encontrando a função potencial
para o item (a) (passo a passo).
- Se
, então integramos em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
- Agora diferenciamos essa expressão em relação a
e igualamos a :
- Isso dá
. Integrando em :
onde
é constante real.
- Assim uma função potencial é
(Para propósitos de integrais de linha a constante
não importa.)
Passo 5
Concluir item (a) e apresentar resultado didático.
- Resumo: o campo do item (a) é conservativo porque
em todo . Uma função potencial é .
Passo 6
Testando o item (b) em
: usar o rotacional (curl).
- Em
um campo é conservativo (isto é, existe com ) em uma região simplesmente conexa se, e somente se, o rotacional é nulo:
- A fórmula das componentes do rotacional é
Aplicaremos isso ao campo
.
Passo 7
Calcular
no item (b) (contas detalhadas).
- Identificando
. - Componentes:
logo primeira componente do rotacional:
- Segunda componente:
logo segunda componente
.
- Terceira componente:
logo terceira componente
.
- Então
que é diferente do vetor nulo.
Passo 8
Concluir item (b) com justificativa.
- Como
(especificamente a primeira e a terceira componentes não são zero), o campo não é conservativo em . Portanto não existe função potencial global com .
Passo 9
Calcular a integral de linha do item (c) usando o teorema fundamental para gradientes.
- No item (a) já demonstramos que
é conservativo e encontramos uma função potencial . - O teorema fundamental das integrais de linha (para campos gradiente) diz que, se
, então para qualquer curva de ponto até :
- Aqui
e . Usamos (escolhendo para simplicidade). - Calcular
e :
- Portanto
Resposta
(a) Sim. Uma função potencial é
.
(b) Não.
, logo não é conservativo.
(c)