Ache a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado, cujo valor \theta é indicado. r=4 \operatorname{sen}(3 \theta), \quad \theta=\frac{5 \pi}{6}
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares r=4\operatorname{sen}(3\theta) e pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação polar: r=4\operatorname{sen}(3\theta).
O valor de \theta onde queremos a tangente: \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
O que é pedido:
Calcular a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente, isto é, \dfrac{dy}{dx} no ponto dado.
Passo 2
Transformação para coordenadas cartesianas e fórmula para a inclinação.
Em coordenadas polares relacionamos com as cartesianas por:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Para achar a inclinação \dfrac{dy}{dx} usamos a regra da cadeia e a definição de derivada paramétrica em função de \theta:
Avaliar a fórmula de \dfrac{dy}{dx} usando os valores encontrados e os valores trigonométricos de \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Precisamos também de \operatorname{sen}\theta e \cos\theta em \theta=\dfrac{5\pi}{6}:
Portanto a inclinação da reta tangente é \sqrt{3}. Como o denominador ficou diferente de zero, a tangente não é vertical; o valor positivo indica inclinação ascendente.