Ache a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado, cujo valor \theta é indicado.
r=4 \operatorname{sen}(3 \theta), \quad \theta=\frac{5 \pi}{6}

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares r=4\operatorname{sen}(3\theta) e pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação polar: r=4\operatorname{sen}(3\theta).
  • O valor de \theta onde queremos a tangente: \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
    O que é pedido:
  • Calcular a inclinação (ou coeficiente angular) da reta tangente, isto é, \dfrac{dy}{dx} no ponto dado.

Passo 2

Transformação para coordenadas cartesianas e fórmula para a inclinação.
Em coordenadas polares relacionamos com as cartesianas por:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Para achar a inclinação \dfrac{dy}{dx} usamos a regra da cadeia e a definição de derivada paramétrica em função de \theta:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}.
Calculamos \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} aplicando a regra do produto (pois x e y são produtos de r(\theta) por funções trigonométricas):
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta, \qquad \frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta.
Dividindo, obtemos a fórmula padrão para curvas polares:
\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta},
onde \;r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}.

Passo 3

Calcular r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta} para a função dada r(\theta)=4\operatorname{sen}(3\theta).
Derivando:
r'(\theta)=4\cdot\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}(3\theta)\big)=4\cdot(3\cos(3\theta))=12\cos(3\theta).

Passo 4

Avaliar r(\theta) e r'(\theta) em \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Primeiro calcule 3\theta:
3\theta=3\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2}.
Usando periodicidade das funções trigonométricas:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \qquad \cos\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Portanto
r\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=4\cdot 1=4, \qquad r'\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=12\cdot 0=0.

Passo 5

Avaliar a fórmula de \dfrac{dy}{dx} usando os valores encontrados e os valores trigonométricos de \theta=\dfrac{5\pi}{6}.
Precisamos também de \operatorname{sen}\theta e \cos\theta em \theta=\dfrac{5\pi}{6}:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo na fórmula
\frac{dy}{dx} =\frac{r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta},
com r'(\theta)=0 e r(\theta)=4, obtemos
\frac{dy}{dx}\bigg|_{\theta=\frac{5\pi}{6}} =\frac{0\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{0\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-4\cdot\frac{1}{2}} =\frac{-2\sqrt{3}}{-2}.

Passo 6

Simplificar a fração e interpretar o resultado.
\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\sqrt{3}.
Portanto a inclinação da reta tangente é \sqrt{3}. Como o denominador ficou diferente de zero, a tangente não é vertical; o valor positivo indica inclinação ascendente.

Resposta

\sqrt{3}

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