En cada um dos itens, assinalar o ponto dado em coordenadas polares e logo, reescrever as coordenadas polares para o mesmo ponto, tais que:
(a)
tenha sinal contrário;
(b)
tenha sinal contrário.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
(a)
(b)
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: para cada par de coordenadas polares fornecido
é necessário:
- “Assinalar o ponto” — aqui vou traduzir isso para as coordenadas cartesianas
para identificar precisamente onde o ponto está no plano. - Reescrever as coordenadas polares do mesmo ponto de duas formas alternativas:
- (a) uma em que
tenha sinal contrário (ou seja, trocar por e ajustar o ângulo para representar o mesmo ponto); - (b) uma em que
tenha sinal contrário (ou seja, escolher uma representação equivalente cujo ângulo tenha o sinal trocado).
Os pontos dados são, na ordem:
- (a) uma em que
Passo 2
Como passar de coordenadas polares para cartesianas (explicação passo-a-passo).
- Fórmula básica: para um ponto dado por
,
Aqui
é a distância ao origem (pode ser positiva ou negativa dependendo da representação) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo (em radianos). Vou usar essa fórmula para “assinalar” o ponto (ou seja, dar
).
Exemplo rápido e concreto (sem cálculo ainda): se e
então
e
. Vou calcular tudo exatamente.
Exemplo rápido e concreto (sem cálculo ainda): se
Passo 3
Como obter uma representação equivalente com
de sinal contrário.
- Identidade útil (e muito usada): para qualquer
,
Explicação: trocar
por
leva o ponto para o lado oposto do origem, por isso devemos girar o ângulo em
para apontar para a mesma direção. Vou usar exatamente essa fórmula para gerar a alternativa (a) em cada item.
Passo 4
Como obter uma representação equivalente em que
tenha sinal contrário.
- Observação sobre periodicidade:
e representam o mesmo ângulo para qualquer inteiro . - Para trocar o sinal de
(ou seja, passar de um ângulo positivo para um negativo ou vice-versa), basta acrescentar/subtrair quando necessário, mantendo o mesmo . Mais precisamente: - Se o ângulo dado
for positivo, uma maneira simples de escrever um ângulo numericamente com sinal contrário é usar (porque é congruente a módulo , mas agora tem sinal negativo). - Se o ângulo dado
for negativo, pode-se usar para obter um ângulo com sinal positivo.
- Se o ângulo dado
- Em outras palavras, para a alternativa (b) vou deixar
igual ao fornecido e trocar por quando , e por quando . Isto garante que o novo ângulo representa o mesmo ponto (mesma direção) mas com sinal trocado.
Passo 5
Item i: dado
.
- Calcular
: Logo o ponto é . - (a)
com sinal contrário: usar : - (b)
com sinal contrário: aqui , então tomo . Mantendo igual:
Passo 6
Item ii: dado
.
- Calcular
: Portanto . - (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: aqui , então uso . Mantendo :
Passo 7
Item iii: dado
.
- Calcular
: Logo . - (a)
com sinal contrário: trocar sinal de para e somar ao ângulo: - (b)
com sinal contrário: , então . Mantendo original:
Passo 8
Item iv: dado
.
- Calcular
: Então o ponto é . - (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: , tomo . Assim:
Passo 9
Item v: dado
.
- Calcular
: Logo o ponto . - (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: , faço . Mantendo :
Passo 10
Item vi: dado
.
- Calcular
:
Portanto o ponto é
.
- (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: , então . Assim:
Passo 11
Item vii: dado
.
- Calcular
: Logo . - (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: , então . Mantendo :
Passo 12
Item viii: dado
.
- Calcular
:
Então
.
- (a)
com sinal contrário: - (b)
com sinal contrário: , assim . Mantendo :
Resposta
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.