En cada um dos itens, assinalar o ponto dado em coordenadas polares e logo, reescrever as coordenadas polares para o mesmo ponto, tais que:
(a) r tenha sinal contrário;
(b) \theta tenha sinal contrário.
i. \left(2, \frac{\pi}{4}\right)
ii. \left(\sqrt{2},-\frac{\pi}{3}\right)
iii. \left(-5, \frac{2 \pi}{3}\right)
iv. \left(4, \frac{5 \pi}{6}\right)
v. \left(-2, \frac{\pi}{3}\right)
vi. \left(4,-\frac{5 \pi}{4}\right)
vii. \left(-3,-\frac{\pi}{3}\right)
viii. \left(5,-\frac{5 \pi}{6}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: para cada par de coordenadas polares fornecido \left(r,\theta\right) é necessário:
  • “Assinalar o ponto” — aqui vou traduzir isso para as coordenadas cartesianas (x,y) para identificar precisamente onde o ponto está no plano.
  • Reescrever as coordenadas polares do mesmo ponto de duas formas alternativas:
    • (a) uma em que r tenha sinal contrário (ou seja, trocar r por -r e ajustar o ângulo para representar o mesmo ponto);
    • (b) uma em que \theta tenha sinal contrário (ou seja, escolher uma representação equivalente cujo ângulo tenha o sinal trocado).
      Os pontos dados são, na ordem:
      \left(2,\frac{\pi}{4}\right), \left(\sqrt{2},-\frac{\pi}{3}\right), \left(-5,\frac{2\pi}{3}\right), \left(4,\frac{5\pi}{6}\right), \left(-2,\frac{\pi}{3}\right), \left(4,-\frac{5\pi}{4}\right), \left(-3,-\frac{\pi}{3}\right), \left(5,-\frac{5\pi}{6}\right).

Passo 2

Como passar de coordenadas polares para cartesianas (explicação passo-a-passo).
  • Fórmula básica: para um ponto dado por \left(r,\theta\right),
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância ao origem (pode ser positiva ou negativa dependendo da representação) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (em radianos). Vou usar essa fórmula para “assinalar” o ponto (ou seja, dar (x,y)).
Exemplo rápido e concreto (sem cálculo ainda): se r=2 e \theta=\pi/4 então x=2\cos(\pi/4) e y=2\sin(\pi/4). Vou calcular tudo exatamente.

Passo 3

Como obter uma representação equivalente com r de sinal contrário.
  • Identidade útil (e muito usada): para qualquer \left(r,\theta\right),
\left(r,\theta\right)=\left(-r,\theta+\pi\right).
Explicação: trocar r por -r leva o ponto para o lado oposto do origem, por isso devemos girar o ângulo em \pi para apontar para a mesma direção. Vou usar exatamente essa fórmula para gerar a alternativa (a) em cada item.

Passo 4

Como obter uma representação equivalente em que \theta tenha sinal contrário.
  • Observação sobre periodicidade: \theta e \theta+2k\pi representam o mesmo ângulo para qualquer inteiro k.
  • Para trocar o sinal de \theta (ou seja, passar de um ângulo positivo para um negativo ou vice-versa), basta acrescentar/subtrair 2\pi quando necessário, mantendo o mesmo r. Mais precisamente:
    • Se o ângulo dado \theta for positivo, uma maneira simples de escrever um ângulo numericamente com sinal contrário é usar \theta'=\theta-2\pi (porque \theta'=\theta-2\pi é congruente a \theta módulo 2\pi, mas agora tem sinal negativo).
    • Se o ângulo dado \theta for negativo, pode-se usar \theta'=\theta+2\pi para obter um ângulo com sinal positivo.
  • Em outras palavras, para a alternativa (b) vou deixar r igual ao fornecido e trocar \theta por \theta-2\pi quando \theta>0, e por \theta+2\pi quando \theta<0. Isto garante que o novo ângulo representa o mesmo ponto (mesma direção) mas com sinal trocado.

Passo 5

Item i: dado \left(2,\frac{\pi}{4}\right).
  • Calcular (x,y): x = 2\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}, \qquad y=2\sin\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.Logo o ponto é \left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: usar \left(-r,\theta+\pi\right): \left(-2,\frac{\pi}{4}+\pi\right)=\left(-2,\frac{5\pi}{4}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: aqui \theta>0, então tomo \theta'=\theta-2\pi=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}. Mantendo r igual: \left(2,-\frac{7\pi}{4}\right).

Passo 6

Item ii: dado \left(\sqrt{2},-\frac{\pi}{3}\right).
  • Calcular (x,y): x=\sqrt{2}\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad y=\sqrt{2}\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}.Portanto \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: \left(-\sqrt{2},-\frac{\pi}{3}+\pi\right)=\left(-\sqrt{2},\frac{2\pi}{3}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: aqui \theta<0, então uso \theta'=\theta+2\pi=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}. Mantendo r: \left(\sqrt{2},\frac{5\pi}{3}\right).

Passo 7

Item iii: dado \left(-5,\frac{2\pi}{3}\right).
  • Calcular (x,y): x=-5\cos\frac{2\pi}{3}=-5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}, \qquad y=-5\sin\frac{2\pi}{3}=-5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{5\sqrt{3}}{2}.Logo \left(\frac{5}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: trocar sinal de -5 para 5 e somar \pi ao ângulo: \left(5,\frac{2\pi}{3}+\pi\right)=\left(5,\frac{5\pi}{3}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta>0, então \theta'=\theta-2\pi=\dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{4\pi}{3}. Mantendo r original: \left(-5,-\frac{4\pi}{3}\right).

Passo 8

Item iv: dado \left(4,\frac{5\pi}{6}\right).
  • Calcular (x,y): x=4\cos\frac{5\pi}{6}=4\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2\sqrt{3}, \qquad y=4\sin\frac{5\pi}{6}=4\cdot\frac{1}{2}=2.Então o ponto é \left(-2\sqrt{3},2\right).
  • (a) r com sinal contrário: \left(-4,\frac{5\pi}{6}+\pi\right)=\left(-4,\frac{11\pi}{6}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta>0, tomo \theta'=\frac{5\pi}{6}-2\pi=-\frac{7\pi}{6}. Assim: \left(4,-\frac{7\pi}{6}\right).

Passo 9

Item v: dado \left(-2,\frac{\pi}{3}\right).
  • Calcular (x,y): x=-2\cos\frac{\pi}{3}=-2\cdot\frac{1}{2}=-1, \qquad y=-2\sin\frac{\pi}{3}=-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.Logo o ponto (-1,-\sqrt{3}).
  • (a) r com sinal contrário: \left(2,\frac{\pi}{3}+\pi\right)=\left(2,\frac{4\pi}{3}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta>0, faço \theta'=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}. Mantendo r=-2: \left(-2,-\frac{5\pi}{3}\right).

Passo 10

Item vi: dado \left(4,-\frac{5\pi}{4}\right).
  • Calcular (x,y): x=4\cos\!\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=4\cos\frac{5\pi}{4}=4\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2\sqrt{2},
y=4\sin\!\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=4\cdot\sin\!\left(-\frac{5\pi}{4}\right)=4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}.
Portanto o ponto é \left(-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: \left(-4,-\frac{5\pi}{4}+\pi\right)=\left(-4,-\frac{\pi}{4}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta<0, então \theta'=-\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4}. Assim: \left(4,\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 11

Item vii: dado \left(-3,-\frac{\pi}{3}\right).
  • Calcular (x,y): x=-3\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-3\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}, \qquad y=-3\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-3\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}.Logo \left(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: \left(3,-\frac{\pi}{3}+\pi\right)=\left(3,\frac{2\pi}{3}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta<0, então \theta'=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}. Mantendo r=-3: \left(-3,\frac{5\pi}{3}\right).

Passo 12

Item viii: dado \left(5,-\frac{5\pi}{6}\right).
  • Calcular (x,y): x=5\cos\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=5\cos\frac{5\pi}{6}=5\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{5\sqrt{3}}{2},
y=5\sin\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{2}.
Então \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right).
  • (a) r com sinal contrário: \left(-5,-\frac{5\pi}{6}+\pi\right)=\left(-5,\frac{\pi}{6}\right).
  • (b) \theta com sinal contrário: \theta<0, assim \theta'=-\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{7\pi}{6}. Mantendo r: \left(5,\frac{7\pi}{6}\right).

Resposta

i. \left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right);\\ (a)\\ \left(-2,\frac{5\pi}{4}\right);\\ (b)\\ \left(2,-\frac{7\pi}{4}\right)
ii. \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2}\right);\\ (a)\\ \left(-\sqrt{2},\frac{2\pi}{3}\right);\\ (b)\\ \left(\sqrt{2},\frac{5\pi}{3}\right)
iii. \left(\frac{5}{2},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right);\\ (a)\\ \left(5,\frac{5\pi}{3}\right);\\ (b)\\ \left(-5,-\frac{4\pi}{3}\right)
iv. \left(-2\sqrt{3},2\right);\\ (a)\\ \left(-4,\frac{11\pi}{6}\right);\\ (b)\\ \left(4,-\frac{7\pi}{6}\right)
v. \left(-1,-\sqrt{3}\right);\\ (a)\\ \left(2,\frac{4\pi}{3}\right);\\ (b)\\ \left(-2,-\frac{5\pi}{3}\right)
vi. \left(-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right);\\ (a)\\ \left(-4,-\frac{\pi}{4}\right);\\ (b)\\ \left(4,\frac{3\pi}{4}\right)
vii. \left(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right);\\ (a)\\ \left(3,\frac{2\pi}{3}\right);\\ (b)\\ \left(-3,\frac{5\pi}{3}\right)
viii. \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{2}\right);\\ (a)\\ \left(-5,\frac{\pi}{6}\right);\\ (b)\\ \left(5,\frac{7\pi}{6}\right)

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