Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo \frac{\pi}{2} e o polo das seguintes curvas.
r=4 \cos (3 \theta)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva polar
r=4\cos(3\theta)
e pede, para essa curva, (1) as interseções com o eixo polar (linha \theta=0), com o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} e com o polo (origem); e (2) as simetrias em relação a esses mesmos eixos/polo. Dados relevantes:
  • A expressão da curva é r(\theta)=4\cos(3\theta).
  • Podemos variar \theta em todo \mathbb{R} (ou em [0,2\pi) para listar interseções).
    O que vamos calcular: pontos (ou ângulos) onde a curva corta cada eixo e verificar as propriedades de simetria usando substituições de \theta.

Passo 2

Breve revisão (ferramentas que vou usar, explicadas de forma simples).
  • Em coordenadas polares um ponto tem coordenadas (r,\theta) e corresponde no plano cartesiano a
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Interseção com o eixo polar (linha \theta=0 que é o eixo x): corresponde a pontos com y=0. Em polares isso é equivalente a
r(\theta)\sin\theta=0.
As soluções aparecem por \sin\theta=0 (ou por r(\theta)=0, que dá o polo).
  • Interseção com a reta \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y): corresponde a x=0, isto é
r(\theta)\cos\theta=0.
  • Interseção com o polo: ocorre quando r(\theta)=0.
  • Testes de simetria (fórmulas simples e o que significam):
    • Simetria em relação ao eixo polar ( x-axis): se r(-\theta)=r(\theta).
    • Simetria em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y): se r(\pi-\theta)=r(\theta).
    • Simetria em relação ao polo (origem): se r(\theta+\pi)=-r(\theta).
      Vou aplicar essas fórmulas à função r(\theta)=4\cos(3\theta) e explicar cada passo.

Passo 3

Interseções com o eixo polar ( y=0, condição r(\theta)\sin\theta=0).
  • Caso \sin\theta=0: \theta = k\pi com k\in\mathbb{Z}.
    • Para \theta=0: r(0)=4\cos(0)=4. Ponto com coordenadas polares (4,0) (em cartesianas: (4,0)).
    • Para \theta=\pi: r(\pi)=4\cos(3\pi)=4\cos\pi=4(-1)=-4. O par (r,\theta)=(-4,\pi) representa o mesmo ponto que (4,0). Portanto não surge um ponto novo.
    • Valores seguintes \theta=2\pi,\dots repetem esses pontos.
  • Caso r(\theta)=0: isso corresponde ao polo — vou listar esses ângulos no Passo 5.
    Conclusão parcial: fora o polo, a única interseção distinta com o eixo polar é o ponto (r,\theta)=(4,0) (cartesiano (4,0)).

Passo 4

Interseções com a reta \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y, condição r(\theta)\cos\theta=0).
  • Caso \cos\theta=0: \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
    • Para \theta=\tfrac{\pi}{2}: r\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=4\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=4\cdot 0=0 → polo.
    • Para \theta=\tfrac{3\pi}{2}: r\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=4\cos\!\left(\tfrac{9\pi}{2}\right)=4\cdot 0=0 → polo.
    • Outros valores repetem.
  • Caso r(\theta)=0: novamente corresponde ao polo (listado no Passo 5).
    Conclusão parcial: a curva não corta o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} em nenhum ponto diferente do polo; a interseção com essa reta é apenas o polo.

Passo 5

Interseções com o polo (solução de r(\theta)=0).
  • Resolver 4\cos(3\theta)=0 \iff \cos(3\theta)=0.
  • Solução de \cos u=0 é u=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Assim
3\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot\tfrac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Tomando os ângulos no intervalo [0,2\pi) (listas distintas no ciclo):
\theta=\tfrac{\pi}{6},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{5\pi}{6},\\ \tfrac{7\pi}{6},\\ \tfrac{3\pi}{2},\\ \tfrac{11\pi}{6}.
Portanto a curva passa pelo polo em seis direções distintas (seis valores de \theta no intervalo 0\le\theta<2\pi). Essas seis ocorrências correspondem ao mesmo ponto geométrico (a origem), mas mostram que a curva atravessa o polo seis vezes ao variar \theta.

Passo 6

Testes de simetria aplicados a r(\theta)=4\cos(3\theta).
  • Teste eixo polar: calcular r(-\theta).
r(-\theta)=4\cos(-3\theta)=4\cos(3\theta)=r(\theta).
Como r(-\theta)=r(\theta), a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo x).
  • Teste eixo \theta=\tfrac{\pi}{2}: calcular r(\pi-\theta).
r(\pi-\theta)=4\cos(3\pi-3\theta)=4\cos(3\pi)\cos(3\theta)-4\sin(3\pi)\sin(3\theta)=-4\cos(3\theta)=-r(\theta).
Aqui r(\pi-\theta)=-r(\theta), que não é igual a r(\theta). Portanto a condição direta de simetria r(\pi-\theta)=r(\theta) não se verifica: a curva NÃO é simétrica em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Teste polo (origem): calcular r(\theta+\pi).
r(\theta+\pi)=4\cos(3\theta+3\pi)=4\cos(3\theta+\pi)=-4\cos(3\theta)=-r(\theta).
Como r(\theta+\pi)=-r(\theta), a condição para simetria em relação ao polo está satisfeita. Conclusão: a curva é simétrica em relação ao polo (tem rotação de 180°/meia volta como simetria).

Passo 7

Observações geométricas rápidas (ajudam a entender o resultado):
  • A curva é do tipo rosa r=a\cos(n\theta) com n=3 ímpar, portanto tem 3 pétalas de comprimento máximo 4. As pétalas centram-se aproximadamente nas direções dadas por \cos(3\theta)=1, isto é \theta=0,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}. A simetria em relação ao eixo polar e em relação ao polo é compatível com essa configuração de 3 pétalas.
  • A curva atravessa o polo 6 vezes ao longo de um ciclo 0\le\theta<2\pi, conforme listado no Passo 5.

Resposta

Interseções com o eixo polar ( \theta=0): ponto (r,\theta)=(4,0) (cartesiano (4,0)); além disso a curva atinge o polo em \theta=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot\tfrac{\pi}{3}.
Interseções com o eixo \theta=\tfrac{\pi}{2}: apenas o polo (ocorre em \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} mod 2\pi).
Interseções com o polo: \theta=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot\tfrac{\pi}{3} (por exemplo \tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{11\pi}{6} em [0,2\pi)).
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar ( r(-\theta)=r(\theta)); não é simétrica em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2} ( r(\pi-\theta)=-r(\theta)); simetria em relação ao polo ( r(\theta+\pi)=-r(\theta)).

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