Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo
e o polo das seguintes curvas.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva polar
e pede, para essa curva, (1) as interseções com o eixo polar (linha
), com o eixo
e com o polo (origem); e (2) as simetrias em relação a esses mesmos eixos/polo. Dados relevantes:
- A expressão da curva é
. - Podemos variar
em todo (ou em para listar interseções).
O que vamos calcular: pontos (ou ângulos) onde a curva corta cada eixo e verificar as propriedades de simetria usando substituições de.
Passo 2
Breve revisão (ferramentas que vou usar, explicadas de forma simples).
- Em coordenadas polares um ponto tem coordenadas
e corresponde no plano cartesiano a
- Interseção com o eixo polar (linha
que é o eixo ): corresponde a pontos com . Em polares isso é equivalente a
As soluções aparecem por
(ou por
, que dá o polo).
- Interseção com a reta
(eixo ): corresponde a , isto é
- Interseção com o polo: ocorre quando
. - Testes de simetria (fórmulas simples e o que significam):
- Simetria em relação ao eixo polar (
-axis): se . - Simetria em relação à reta
(eixo ): se . - Simetria em relação ao polo (origem): se
.
Vou aplicar essas fórmulas à funçãoe explicar cada passo.
- Simetria em relação ao eixo polar (
Passo 3
Interseções com o eixo polar (
, condição
).
- Caso
: com . - Para
: . Ponto com coordenadas polares (em cartesianas: ). - Para
: . O par representa o mesmo ponto que . Portanto não surge um ponto novo. - Valores seguintes
repetem esses pontos.
- Para
- Caso
: isso corresponde ao polo — vou listar esses ângulos no Passo 5.
Conclusão parcial: fora o polo, a única interseção distinta com o eixo polar é o ponto(cartesiano ).
Passo 4
Interseções com a reta
(eixo
, condição
).
- Caso
: . - Para
: → polo. - Para
: → polo. - Outros valores repetem.
- Para
- Caso
: novamente corresponde ao polo (listado no Passo 5).
Conclusão parcial: a curva não corta o eixoem nenhum ponto diferente do polo; a interseção com essa reta é apenas o polo.
Passo 5
Interseções com o polo (solução de
).
- Resolver
. - Solução de
é . Assim
- Tomando os ângulos no intervalo
(listas distintas no ciclo):
Portanto a curva passa pelo polo em seis direções distintas (seis valores de
no intervalo
). Essas seis ocorrências correspondem ao mesmo ponto geométrico (a origem), mas mostram que a curva atravessa o polo seis vezes ao variar
.
Passo 6
Testes de simetria aplicados a
.
- Teste eixo polar: calcular
.
Como
, a curva é simétrica em relação ao eixo polar (eixo
).
- Teste eixo
: calcular .
Aqui
, que não é igual a
. Portanto a condição direta de simetria
não se verifica: a curva NÃO é simétrica em relação à reta
.
- Teste polo (origem): calcular
.
Como
, a condição para simetria em relação ao polo está satisfeita. Conclusão: a curva é simétrica em relação ao polo (tem rotação de 180°/meia volta como simetria).
Passo 7
Observações geométricas rápidas (ajudam a entender o resultado):
- A curva é do tipo rosa
com ímpar, portanto tem pétalas de comprimento máximo . As pétalas centram-se aproximadamente nas direções dadas por , isto é . A simetria em relação ao eixo polar e em relação ao polo é compatível com essa configuração de 3 pétalas. - A curva atravessa o polo 6 vezes ao longo de um ciclo
, conforme listado no Passo 5.
Resposta
Interseções com o eixo polar (
): ponto
(cartesiano
); além disso a curva atinge o polo em
.
Interseções com o eixo : apenas o polo (ocorre em
mod
).
Interseções com o polo: (por exemplo
em
).
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar ( ); não é simétrica em relação à reta
(
); simetria em relação ao polo (
).
Interseções com o eixo
Interseções com o polo:
Simetrias: simetria em relação ao eixo polar (