Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo \frac{\pi}{2} e o polo das seguintes curvas.
r=5 \operatorname{sen}(4 \theta)

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r=5\sin(4\theta)
e pede, para essa curva, que eu determine:
  • as interseções com o eixo polar (eixo \theta=0),
  • as interseções com o eixo \theta=\dfrac{\pi}{2},
  • as interseções com o polo (origem, r=0),
    e também que eu verifique as simetrias da curva em relação a esses três elementos (eixo polar, reta \theta=\dfrac{\pi}{2} e polo).
Informações relevantes dadas:
  • A lei polar é r(\theta)=5\sin(4\theta).
  • Interseção com um eixo significa pontos da curva que estão sobre a reta correspondente (por exemplo, pontos com y=0 para o eixo polar).
  • Interseção com o polo significa valores de \theta tais que r(\theta)=0.

Passo 2

Como encontrar interseções com os eixos (ideia geral — aula curta):
  • Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • Um ponto está no eixo polar (eixo x, isto é \theta=0 ou \theta=\pi) quando sua ordenada y=0. Em polares isso significa r\sin\theta=0.
  • Um ponto está na reta \theta=\dfrac{\pi}{2} (eixo y) quando sua abscissa x=0. Em polares isso significa r\cos\theta=0.
  • Assim, para achar interseções, resolvo as equações r\sin\theta=0 e r\cos\theta=0 usando r=5\sin(4\theta). Isso captura tanto os casos r=0 (polo) quanto \sin\theta=0 ou \cos\theta=0.
    Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Interseções com o eixo polar (linha y=0, isto é \sin\theta=0 ou r=0):
Condição para estar no eixo polar:
r\sin\theta=0.
Usando r=5\sin(4\theta) obtemos
5\sin(4\theta)\sin\theta=0.
Isso acontece se \sin(4\theta)=0 ou \sin\theta=0.
Primeiro, \sin\theta=0
\theta = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Avalio r nesses ângulos:
r(k\pi)=5\sin(4k\pi)=5\cdot 0 = 0,
logo nesses ângulos o ponto é o polo.
Segundo, \sin(4\theta)=0
4\theta = m\pi \Rightarrow \theta = \frac{m\pi}{4},\qquad m\in\mathbb{Z},
e nesses \theta temos r=0 por definição, ou seja novamente o polo.
Conclusão: todos os pontos da curva que estão sobre o eixo polar correspondem ao polo. Não há interseção com o eixo polar em ponto com r\neq 0.

Passo 4

Interseções com a reta \theta=\dfrac{\pi}{2} (linha x=0, isto é \cos\theta=0 ou r=0):
Condição para estar na reta \theta=\dfrac{\pi}{2}:
r\cos\theta=0.
Usando r=5\sin(4\theta) obtemos
5\sin(4\theta)\cos\theta=0.
Isto ocorre se \cos\theta=0 ou \sin(4\theta)=0.
  • \cos\theta=0 implica
\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Avalio r nesses ângulos:
r\!\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=5\sin\!\big(4(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)\big)=5\sin\!\big(2\pi+4k\pi\big)=5\cdot 0 = 0,
ou seja, nesses ângulos o ponto é o polo.
  • \sin(4\theta)=0 já vimos no passo anterior que dá r=0 (polo).
Conclusão: a curva só encontra a reta \theta=\dfrac{\pi}{2} no polo; não há interseção com r\neq 0.

Passo 5

Interseções com o polo (soluções de r=0):
Resolver
5\sin(4\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(4\theta)=0.
Logo
4\theta = m\pi \Rightarrow \theta = \frac{m\pi}{4},\qquad m\in\mathbb{Z}.
Tomando soluções distintas no intervalo [0,2\pi) obtemos
\theta = 0,\\ \frac{\pi}{4},\\ \frac{\pi}{2},\\ \frac{3\pi}{4},\\ \pi,\\ \frac{5\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{2},\\ \frac{7\pi}{4}.
Portanto a curva passa pelo polo em oito ângulos distintos (o que corresponde a uma “rosa” com 8 pétalas no caso de r=a\sin(n\theta) com n=4 par).

Passo 6

Testes de simetria (mini-aula e aplicação):
Regras práticas em coordenadas polares (por que funcionam):
  • Simetria em relação ao eixo polar (eixo \theta=0): trocar \theta por -\theta. Se a equação for inalterada (isto é, r(-\theta)=r(\theta)) a curva é simétrica em relação ao eixo polar.
  • Simetria em relação à reta \theta=\dfrac{\pi}{2}: trocar \theta por \pi-\theta. Se r(\pi-\theta)=r(\theta) a curva tem essa simetria.
  • Simetria em relação ao polo (simetria central): trocar \theta por \theta+\pi. Se r(\theta+\pi)=r(\theta) então a curva é invariante por rotação de \pi (simetria em relação ao polo).
Agora aplico essas trocas à nossa função r(\theta)=5\sin(4\theta).
  1. Teste \theta\mapsto -\theta:
r(-\theta)=5\sin(-4\theta)=-5\sin(4\theta)=-r(\theta).
Resultado: r(-\theta)=-r(\theta), ou seja, não temos r(-\theta)=r(\theta). Portanto a curva NÃO é par em \theta e, segundo o teste direto, NÃO é simétrica em relação ao eixo polar.
(Observação didática rápida: quando r(-\theta)=-r(\theta) às vezes ocorre ambiguidade porque (r,-\theta) com r negativo pode representar o mesmo ponto que (|r|,\pi-\theta); porém o teste padrão exige r(-\theta)=r(\theta) para garantir a simetria simples em torno do eixo \theta=0. Aqui o resultado é ímpar, então a curva não apresenta a simetria direta.)
  1. Teste \theta\mapsto \pi-\theta:
r(\pi-\theta)=5\sin(4\pi-4\theta)=5\sin(-4\theta)=-5\sin(4\theta)=-r(\theta).
Resultado: r(\pi-\theta)=-r(\theta), não igual a r(\theta). Portanto a curva NÃO é simétrica em relação à reta \theta=\dfrac{\pi}{2} pelo teste direto.
  1. Teste \theta\mapsto \theta+\pi:
r(\theta+\pi)=5\sin(4\theta+4\pi)=5\sin(4\theta)=r(\theta).
Resultado: r(\theta+\pi)=r(\theta). Isso significa que, ao rotacionar \theta em \pi, o valor de r permanece o mesmo; geometricamente, a curva é invariante pela rotação de \pi, ou seja, tem simetria central em relação ao polo. Em termos simples: se (r,\theta) está na curva, então (r,\theta+\pi) também está — a curva tem simetria em relação ao polo.

Passo 7

Resumo e interpretação geométrica curta (para você visualizar):
  • A função tem zeros em \theta = \dfrac{m\pi}{4} (oito posições dentro de 0\le\theta<2\pi), então a curva toca o polo oito vezes — típica rosa de 8 pétalas (porque n=4 e n é par => 2n=8 pétalas).
  • Apesar de tocar os eixos, todos esses toques ocorrem no polo: não há ponto com r\neq 0 sobre o eixo polar nem sobre a reta \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Em termos de simetrias: não há simetria simples em relação ao eixo polar nem em relação à reta \theta=\tfrac{\pi}{2}, mas há simetria central em relação ao polo (invariância por rotação de \pi).

Resposta

Eixo polar ( \theta=0): interseção apenas no polo (todos os pontos com \theta=k\pi dão r=0); simetria em relação ao eixo polar: não (pois r(-\theta)=-r(\theta), não igual a r(\theta)).
Eixo \theta=\dfrac{\pi}{2}: interseção apenas no polo (todos os pontos com \theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi dão r=0); simetria em relação a \theta=\dfrac{\pi}{2}: não (pois r(\pi-\theta)=-r(\theta)).
Polo: interseções em \theta=\dfrac{m\pi}{4} para m=0,1,\dots,7 (oito ângulos no intervalo [0,2\pi)); simetria em relação ao polo: sim (pois r(\theta+\pi)=r(\theta)).

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