Determinar as interseções e simetrias com o eixo polar, eixo
e o polo das seguintes curvas.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede, para essa curva, que eu determine:
- as interseções com o eixo polar (eixo
), - as interseções com o eixo
, - as interseções com o polo (origem,
),
e também que eu verifique as simetrias da curva em relação a esses três elementos (eixo polar, retae polo).
Informações relevantes dadas:
- A lei polar é
. - Interseção com um eixo significa pontos da curva que estão sobre a reta correspondente (por exemplo, pontos com
para o eixo polar). - Interseção com o polo significa valores de
tais que .
Passo 2
Como encontrar interseções com os eixos (ideia geral — aula curta):
- Em coordenadas polares, as coordenadas cartesianas são
e . - Um ponto está no eixo polar (eixo
, isto é ou ) quando sua ordenada . Em polares isso significa . - Um ponto está na reta
(eixo ) quando sua abscissa . Em polares isso significa . - Assim, para achar interseções, resolvo as equações
e usando . Isso captura tanto os casos (polo) quanto ou .
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Interseções com o eixo polar (linha
, isto é
ou
):
Condição para estar no eixo polar:
Usando
obtemos
Isso acontece se
ou
.
Primeiro,
dá
Avalio
nesses ângulos:
logo nesses ângulos o ponto é o polo.
Segundo,
dá
e nesses
temos
por definição, ou seja novamente o polo.
Conclusão: todos os pontos da curva que estão sobre o eixo polar correspondem ao polo. Não há interseção com o eixo polar em ponto com
.
Passo 4
Interseções com a reta
(linha
, isto é
ou
):
Condição para estar na reta
:
Usando
obtemos
Isto ocorre se
ou
.
-
implica
Avalio
nesses ângulos:
ou seja, nesses ângulos o ponto é o polo.
-
já vimos no passo anterior que dá (polo).
Conclusão: a curva só encontra a reta
no polo; não há interseção com
.
Passo 5
Interseções com o polo (soluções de
):
Resolver
Logo
Tomando soluções distintas no intervalo
obtemos
Portanto a curva passa pelo polo em oito ângulos distintos (o que corresponde a uma “rosa” com 8 pétalas no caso de
com
par).
Passo 6
Testes de simetria (mini-aula e aplicação):
Regras práticas em coordenadas polares (por que funcionam):
- Simetria em relação ao eixo polar (eixo
): trocar por . Se a equação for inalterada (isto é, ) a curva é simétrica em relação ao eixo polar. - Simetria em relação à reta
: trocar por . Se a curva tem essa simetria. - Simetria em relação ao polo (simetria central): trocar
por . Se então a curva é invariante por rotação de (simetria em relação ao polo).
Agora aplico essas trocas à nossa função
.
- Teste
:
Resultado:
, ou seja, não temos
. Portanto a curva NÃO é par em
e, segundo o teste direto, NÃO é simétrica em relação ao eixo polar.
(Observação didática rápida: quando
às vezes ocorre ambiguidade porque
com
negativo pode representar o mesmo ponto que
; porém o teste padrão exige
para garantir a simetria simples em torno do eixo
. Aqui o resultado é ímpar, então a curva não apresenta a simetria direta.)
- Teste
:
Resultado:
, não igual a
. Portanto a curva NÃO é simétrica em relação à reta
pelo teste direto.
- Teste
:
Resultado:
. Isso significa que, ao rotacionar
em
, o valor de
permanece o mesmo; geometricamente, a curva é invariante pela rotação de
, ou seja, tem simetria central em relação ao polo. Em termos simples: se
está na curva, então
também está — a curva tem simetria em relação ao polo.
Passo 7
Resumo e interpretação geométrica curta (para você visualizar):
- A função tem zeros em
(oito posições dentro de ), então a curva toca o polo oito vezes — típica rosa de 8 pétalas (porque e é par => pétalas). - Apesar de tocar os eixos, todos esses toques ocorrem no polo: não há ponto com
sobre o eixo polar nem sobre a reta . - Em termos de simetrias: não há simetria simples em relação ao eixo polar nem em relação à reta
, mas há simetria central em relação ao polo (invariância por rotação de ).
Resposta
Eixo polar (
): interseção apenas no polo (todos os pontos com
dão
); simetria em relação ao eixo polar: não (pois
, não igual a
).
Eixo : interseção apenas no polo (todos os pontos com
dão
); simetria em relação a
: não (pois
).
Polo: interseções em para
(oito ângulos no intervalo
); simetria em relação ao polo: sim (pois
).
Eixo
Polo: interseções em