Ache a integral indefinida geral.
integral v(v^2+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral v,(v^2+2)^2,dx
que, na prática, é uma aplicação direta de substituição (método da cadeia) para funções polinomiais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v^2 + 2
Dessa forma, diferenciando em relação a x, temos
dudx = 2,vLongrightarrow du = 2,v,dxLongrightarrow v,dx = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos v,dx por tfrac12du e (v^2+2)^2 por u^2:
integral v,(v^2+2)^2,dx = integral u^2,l(v,dxr) = integral u^2,12,du = 12,integral u^2,du

Passo 4

Agora integramos em u:
12,integral u^2,du = 12,cdotu^33 + C = u^36 + C
Voltando à variável original v, obtemos
(v^2+2)^36 + C

Resposta

integral v,(v^2+2)^2,dx = (v^2+2)^36 + C

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