Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
0,021 34=0,021343434343 cdots.

Passo 1

O enunciado pede para transformar o decimal periódico 0,02134 numa razão de inteiros. O conteúdo envolve a conversão de um decimal com parte não periódica ( 0,021) e parte periódica ( 34). Vamos chamar esse número de x e usar a técnica de multiplicar por potências de 10 para eliminar a repetição.

Passo 2

Defina
x = 0,021343434ldots
A parte não periódica tem n=3 dígitos e o período tem m=2 dígitos. Multiplicamos x por 10^n+m=10^5 e por 10^n=10^3:
10^5 x = 2134,343434ldots
10^3 x = 21,343434ldots

Passo 3

Subtraindo as duas equações para eliminar a parte periódica, obtemos:
10^5 x - 10^3 x = 2134,343434ldots - 21,343434ldots = 2113
Logo,
(10^5 - 10^3)x = 2113 Longrightarrow 99000,x = 2113

Passo 4

Isolando x, temos
x = 211399000
Verificando o máximo divisor comum entre 2113 e 99000, vemos que é 1, então a fração está na forma irredutível.

Resposta

211399000

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