Esboce o gráfico da função
explicitando as justificativas de todos os passos (domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade para cima e para baixo, limites e assíntotas).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, como domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidade, limites e assíntotas. Vamos passo a passo entender cada uma dessas partes para desenhar o gráfico completo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, temos uma fração que está dentro da função arctan. A arctan está definida para todos os números reais, mas a fração
não está definida quando o denominador é zero. Então, resolvendo
, temos
. Portanto, o domínio de
é todos os reais menos
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Porém, como a função é
mais 2, o valor mínimo da função será 2. Portanto, ela nunca será zero e não tem raízes.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da função é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Usando a regra da cadeia, a derivada da
é
, onde
. Calculando
:
Então,
Simplificando mais:
Como o denominador é sempre positivo, a derivada nunca é zero e está sempre definida (exceto em
, que já está excluído do domínio). Portanto, não há pontos críticos.
Passo 5
Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Como a derivada
é sempre positiva no domínio, isso significa que a função está sempre crescendo.
Passo 6
Agora, vamos achar os pontos de inflexão e analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada
. Começamos derivando
:
Vamos simplificar o denominador primeiro:
Então,
Derivando novamente usando a regra do quociente:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos
:
Então, temos um ponto de inflexão em
. Para a concavidade:
- Quando
, (concava para cima). - Quando
, (concava para baixo).
Passo 7
Vamos calcular os limites da função quando
tende a
,
e
.
- Limite quando
:
A fração
tende a
, que vai para
se
se aproxima de 1 pela direita, e
se pela esquerda.
Então,
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Passo 8
Finalmente, vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
- Assíntota vertical:
A função não está definida em
, e vimos que os limites quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita são finitos. Logo, não há assíntota vertical.
- Assíntota horizontal:
Como os limites quando
são iguais a
, existe uma assíntota horizontal nessa altura:
Resposta
O gráfico da função
possui domínio
, está sempre crescendo, tem um ponto de inflexão em
, é côncava para cima quando
e para baixo quando
. Os limites são
à esquerda de
,
à direita de
, e
para
indo ao infinito positivo e negativo, com uma assíntota horizontal em
. Não há raízes nem assíntotas verticais. Com todas essas informações, o esboço do gráfico deve refletir essas características.