Esboce o gráfico da função
f(x)=arctan (x-2x-1)+2
explicitando as justificativas de todos os passos (domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade para cima e para baixo, limites e assíntotas).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função f(x) = arctan(x-2x-1) + 2 . Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas inversas, como domínio, raízes, pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, concavidade, limites e assíntotas. Vamos passo a passo entender cada uma dessas partes para desenhar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Olhando para x-2x-1 , temos uma fração que está dentro da função arctan. A arctan está definida para todos os números reais, mas a fração x-2x-1 não está definida quando o denominador é zero. Então, resolvendo x - 1 = 0 , temos x = 1 . Portanto, o domínio de f(x) é todos os reais menos x = 1 :
Domínio: x in R, , x neq 1 í

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de x onde f(x) = 0 . Porém, como a função é arctan mais 2, o valor mínimo da função será 2. Portanto, ela nunca será zero e não tem raízes.
Raízes: Não possui íã

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada da função é zero ou não existe. Primeiro, calculamos a derivada de f(x) :
f'(x) = ddx [ arctan(x-2x-1) ]
Usando a regra da cadeia, a derivada da arctan(u) é u'1 + u^2 , onde u = x-2x-1 . Calculando u' :
u' = (1)(x-1) - (x-2)(1)(x-1)^2 = x - 1 - x + 2(x-1)^2 = 1(x-1)^2
Então,
f'(x) = 1(x-1)^2 cdot 11 + (x-2x-1)^2
Simplificando mais:
f'(x) = 1(x-1)^2 + (x-2)^2
Como o denominador é sempre positivo, a derivada nunca é zero e está sempre definida (exceto em x = 1 , que já está excluído do domínio). Portanto, não há pontos críticos.
Pontos críticos: Não possui íã

Passo 5

Vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. Como a derivada f'(x) é sempre positiva no domínio, isso significa que a função está sempre crescendo.
Intervalo de crescimento: (-infty, 1) cup (1, +infty)
Intervalo de decrescimento: Nenhum

Passo 6

Agora, vamos achar os pontos de inflexão e analisar a concavidade da função. Para isso, precisamos da segunda derivada f''(x) . Começamos derivando f'(x) :
f''(x) = ddx [ 1(x-1)^2 + (x-2)^2 ]
Vamos simplificar o denominador primeiro:
(x-1)^2 + (x-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 6x + 5
Então,
f'(x) = 12x^2 - 6x + 5
Derivando novamente usando a regra do quociente:
f''(x) = - (4x - 6) (2x^2 - 6x + 5)^2 = -4x + 6 (2x^2 - 6x + 5)^2
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos f''(x) = 0 :
-4x + 6 = 0 Rightarrow x = 64 = 1.5
Então, temos um ponto de inflexão em x = 1.5 . Para a concavidade:
  • Quando x < 1.5 , f''(x) > 0 (concava para cima).
  • Quando x > 1.5 , f''(x) < 0 (concava para baixo).
Ponto de inf<=xão: x = 1.5 ã
Concavidade:
Para x < 1.5: Concava para cima
Para x > 1.5: Concava para baixo

Passo 7

Vamos calcular os limites da função quando x tende a 1 , +infty e -infty .
  1. Limite quando x to 1 :
limx to 1 arctan(x-2x-1) + 2
A fração x-2x-1 tende a -10 , que vai para -infty se x se aproxima de 1 pela direita, e +infty se pela esquerda.
Então,
limx to 1^- f(x) = arctan(+infty) + 2 = pi2 + 2
limx to 1^+ f(x) = arctan(-infty) + 2 = -pi2 + 2
  1. Limite quando x to +infty :
limx to +infty arctan(x-2x-1) + 2 = arctan(11) + 2 = arctan(1) + 2 = pi4 + 2
  1. Limite quando x to -infty :
limx to -infty arctan(x-2x-1) + 2 = arctan(11) + 2 = pi4 + 2
Limites:
limx to 1^- f(x) = pi2 + 2
limx to 1^+ f(x) = -pi2 + 2
limx to pminfty f(x) = pi4 + 2

Passo 8

Finalmente, vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca.
  1. Assíntota vertical:
A função não está definida em x = 1 , e vimos que os limites quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita são finitos. Logo, não há assíntota vertical.
  1. Assíntota horizontal:
Como os limites quando x to pminfty são iguais a pi4 + 2 , existe uma assíntota horizontal nessa altura:
y = pi4 + 2
Assíntotas: í
Horizontal: y = pi4 + 2

Resposta

O gráfico da função f(x) = arctan(x-2x-1) + 2 possui domínio R setminus 1 , está sempre crescendo, tem um ponto de inflexão em x = 1.5 , é côncava para cima quando x < 1.5 e para baixo quando x > 1.5 . Os limites são pi2 + 2 à esquerda de x = 1 , -pi2 + 2 à direita de x = 1 , e pi4 + 2 para x indo ao infinito positivo e negativo, com uma assíntota horizontal em y = pi4 + 2 . Não há raízes nem assíntotas verticais. Com todas essas informações, o esboço do gráfico deve refletir essas características.

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