Determine o domínio e as assíntotas da função
f(x)=x^2raiz4-x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o domínio e todas as assíntotas da função
f(x)=x^2raiz4-x^2
O conteúdo envolvido é análise de domínio de função com radiciação e identificação de assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o radicando seja não-negativo e que o denominador não se anule. Logo, exigimos
4 - x^2 > 0
porque se 4 - x^2=0 o denominador fica zero, e se 4 - x^2<0 a raiz não é real. Da desigualdade
4 - x^2 > 0 Long<=ftrightarrow -2 < x < 2
Portanto o domínio é
D = (-2,,2)

Passo 3

Agora procuramos assíntotas verticais. Elas ocorrem onde x tende a um ponto do domínio em que o denominador vai a zero mas o numerador tende a um valor finito não zero. Aqui isso acontece em xto 2^- e em xto -2^+. De fato, para xto 2^-:
raiz4 - x^2to 0^+, x^2to 4,
logo
f(x)=x^2raiz4-x^2to +infty
Analogamente, para xto -2^+ tem-se
f(x)to +infty
Isso mostra que existem assíntotas verticais em
x = 2 e x = -2

Passo 4

Não há assíntotas horizontais nem oblíquas, pois o domínio de f é limitado a (-2,2) e não se faz xtopminfty para essa função.

Resposta

Domínio: (-2,2).
Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Não há assíntotas horizontais nem oblíquas.

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