Expresse o número racional como uma razão de inteiros:
0, 412=0,412412412 cdots;

Passo 1

O enunciado pede para converter o decimal periódico simples ,0,412 em uma razão de inteiros. O conteúdo envolvido é a técnica de manipulação algébrica de decimais periódicos, em que usamos uma incógnita e subtrações para eliminar a parte repetida.

Passo 2

Seja
x = 0,412 = 0,412412412ldots
Como a parte periódica tem 3 dígitos, multiplicamos por 10^3=1000 para deslocar a vírgula três casas:
1000x = 412,412412412ldots

Passo 3

Subtraímos a expressão original da multiplicada para eliminar a repetição:
1000x - x = 412,412412ldots - 0,412412ldots
999x = 412

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = 412999
Verificamos que gcd(412,999)=1, logo a fração está irredutível.

Resposta

412999

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