Ache a integral indefinida.
\int \frac{3 x-2}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}\;dx
O conteúdo principal aqui é manipular potências de x para depois aplicar a regra de potência na integração.

Passo 2

Primeiro, transformamos o integrando em soma de potências de x. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
\frac{3x - 2}{\sqrt{x}} =3x\cdot x^{-1/2}-2\cdot x^{-1/2} =3x^{1/2}-2x^{-1/2}.
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\int \frac{3x - 2}{\sqrt{x}}\;dx =\int\bigl(3x^{1/2}-2x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência na integral, que diz
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1).
Para cada termo:
\int 3x^{1/2}\,dx =3\cdot\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} =3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2} =2x^{3/2},
\int -2x^{-1/2}\,dx =-2\cdot\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =-2\cdot 2x^{1/2} =-4x^{1/2}.
Somando e incluindo a constante de integração C,
\int \frac{3x-2}{\sqrt{x}}\,dx =2x^{3/2}-4x^{1/2}+C.

Resposta

2x^{3/2}-4x^{1/2}+C.

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