Calcule a integral fazendo a substituição dada.
\int x\left(4+x^{2}\right) d x, \quad u=4+x^{2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral
\int x\bigl(4 + x^{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de substituição com u = 4 + x^{2}.

Passo 2

Calculamos du. Como u = 4 + x^{2}, temos
du = 2x\,dx
Logo podemos isolar
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral original, trocamos 4 + x^{2} por u e x\,dx por \tfrac{du}{2}:
\int x\bigl(4 + x^{2}\bigr)\,dx = \int u\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u\,du.

Passo 4

Agora integramos em função de u:
\frac{1}{2}\int u\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{4} + C.

Passo 5

Voltamos à variável x usando u = 4 + x^{2}:
\frac{u^{2}}{4} + C = \frac{\bigl(4 + x^{2}\bigr)^{2}}{4} + C.

Resposta

\frac{\bigl(4 + x^{2}\bigr)^{2}}{4} + C

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