Ache a integral indefinida.
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\biggl(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\biggr)^{2}dx.
Aqui o conteúdo é integração de funções potenciais, então vamos primeiro simplificar o integrando por manipulação algébrica.

Passo 2

Expandindo o quadrado, lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2} e 1/\sqrt{x}=x^{-1/2}, temos
\bigl(x^{1/2}+x^{-1/2}\bigr)^{2} = (x^{1/2})^{2} + 2\,x^{1/2}\,x^{-1/2} + (x^{-1/2})^{2} = x + 2 + x^{-1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 2\,dx = 2x,\qquad \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\frac{x^{2}}{2} + 2x + \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{2}}{2} + 2x + \ln\lvert x\rvert + C}

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