Ache a integral indefinida.
\int(1-x)\left(2+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int (1 - x)\,(2 + x^2)\,dx
O conteúdo aqui é integração de polinômio: vamos primeiro expandir o produto e depois aplicar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Expandindo o integrando:
(1 - x)\,(2 + x^2) = 1\cdot 2 + 1\cdot x^2 - x\cdot 2 - x\cdot x^2 = 2 + x^2 - 2x - x^3.

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente:
\int 2\,dx = 2x,\quad \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\quad \int(-2x)\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} = -x^2,\quad \int(-x^3)\,dx = -\frac{x^4}{4}.

Passo 4

Somando todos os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\frac{x^4}{4} \;+\;\frac{x^3}{3}\;-\;x^2\;+\;2x\;+\;C.

Resposta

\int(1 - x)(2 + x^2)\,dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x + C.

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