Calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec} x\,dx.
Isso envolve integração de funções trigonométricas; vamos usar substituição para transformar tudo num polinômio em u.

Passo 2

Reescrevemos \tan^{3}x como
\tan^{3}x = \tan^{2}x\;\tan x = (\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,\tan x.
Então a integral fica
\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec} x\,dx = \int (\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,\tan x\,\operatorname{sec} x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sec} x \quad\Longrightarrow\quad du = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx.
Logo \tan x\,\operatorname{sec} x\,dx = du e
\int (\operatorname{sec}^{2}x - 1)\,\tan x\,\operatorname{sec} x\,dx = \int (u^{2}-1)\,du.

Passo 4

Agora é só integrar o polinômio em u:
\int (u^{2}-1)\,du = \frac{u^{3}}{3} - u + C.

Passo 5

Voltando para x (lembre que u=\operatorname{sec} x), obtemos
\frac{u^{3}}{3} - u + C = \frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3} - \operatorname{sec} x + C.

Resposta

\int \tan^{3}x \,\operatorname{sec} x\,dx = \frac{\operatorname{sec}^{3}x}{3} - \operatorname{sec} x + C.

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