Calcule a integral indefinida.
\int x\left(x^{2}+3\right)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,(x^{2}+3)^{4}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, que facilita integrar potências compostas.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2} + 3,
porque a parte interna \,x^{2}+3\ aparece elevada à quarta potência. Calculamos o diferencial de u:
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du \quad\text{e}\quad (x^{2}+3)^{4} = u^{4},
logo a integral original vira
\int x\,(x^{2}+3)^{4}\,dx = \int u^{4}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de potência para integrar u^{4}:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Portanto
\frac{1}{2}\int u^{4}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{u^{5}}{10} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+3:
\frac{u^{5}}{10} + C = \frac{(x^{2}+3)^{5}}{10} + C.

Resposta

\frac{(x^{2}+3)^{5}}{10} + C

Exercícios relacionados