Ache a interseção das retas x+y=1 e x+2 y=3. Essas retas estão no R^2 ou no R^3 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede a interseção das retas
x + y = 1
e
x + 2y = 3,
ou seja, resolver o sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Além disso, pede em que espaço essas retas “vivem” (se em R^2 ou em R^3) e justificar. Vamos usar eliminação de variáveis para encontrar o ponto de interseção e argumentos sobre dimensões de espaços.

Passo 2

Escrevemos o sistema:
x + y = 1, x + 2y = 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, eliminamos x:
(x + 2y) - (x + y) = 3 - 1 Longrightarrow y = 2

Passo 3

Com y=2 na primeira equação x + y = 1, obtemos
x + 2 = 1 Longrightarrow x = -1
Logo, o ponto de interseção é l(-1,2r).

Passo 4

Essas retas estão em R^2, pois cada uma é dada por uma única equação linear em duas variáveis l(x,yr). Em R^3, uma equação do tipo x+y=1 não define uma reta, mas um plano. Para ter uma reta em R^3 seriam necessárias duas equações lineares em (x,y,z).

Resposta

A interseção é o ponto l(-1,2r), e as retas estão em R^2 porque cada equação envolve apenas x e y.

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