Dados o terno n=(a, b, c) e o plano pi de equação a x+b y+c z=d:
Qual é a distância do plano a x+b y+c z=0 à reta de equação paramétrica (x, y, z)=(c, 0,-a) t+(1,1,1), t real?

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o plano
a x + b y + c z = 0
e a reta de equação paramétrica
(x,y,z) = (1,1,1) + t,(c,0,-a),, tinR
O que vamos usar é a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano a x+b y+c z=0:
dist = l|a x0 + b y0 + c z0r|raiza^2+b^2+c^2
Como a reta é todo ponto da forma (x(t),y(t),z(t)), basta ver se essa quantidade depende de t e, em caso afirmativo, minimizar; caso contrário, é constante.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de um ponto genérico na reta:
x(t) = 1 + c,t, y(t) = 1, z(t) = 1 - a,t
Substituímos esses valores na expressão a x + b y + c z:

Passo 3

a,x(t) + b,y(t) + c,z(t) = a(1 + c,t) + bcdot1 + c(1 - a,t) = a + a c,t + b + c - a c,t = a + b + c
Repare que os termos com t cancelam, mostrando que a distância é a mesma para todo t.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância, temos
dist = l|a x(t) + b y(t) + c z(t)r|raiza^2 + b^2 + c^2 = l|a + b + cr|raiza^2 + b^2 + c^2

Resposta

l|a + b + cr|raiza^2 + b^2 + c^2

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