Dados o terno e o plano de equação :
Qual é a distância do plano à reta de equação paramétrica , t real?
Passo 1
O enunciado pede a distância entre o plano
e a reta de equação paramétrica
O que vamos usar é a fórmula da distância de um ponto ao plano :
Como a reta é todo ponto da forma (x(t),y(t),z(t)), basta ver se essa quantidade depende de t e, em caso afirmativo, minimizar; caso contrário, é constante.
Passo 2
Escrevemos as coordenadas de um ponto genérico na reta:
x(t) = 1 + c,t, y(t) = 1, z(t) = 1 - a,t
Substituímos esses valores na expressão a x + b y + c z:
Passo 3
a,x(t) + b,y(t) + c,z(t) = a(1 + c,t) + bcdot1 + c(1 - a,t) = a + a c,t + b + c - a c,t = a + b + c
Repare que os termos com t cancelam, mostrando que a distância é a mesma para todo t.
Passo 4
Aplicando a fórmula da distância, temos
dist = l|a x(t) + b y(t) + c z(t)r|raiza^2 + b^2 + c^2 = l|a + b + cr|raiza^2 + b^2 + c^2