Dados o terno n=(a, b, c) e o plano pi de equação a x+b y+c z=d:
Qual é a distância do plano pi ao plano de equação a x+b y+c z=d^prime ?

Passo 1

Estamos com dois planos paralelos, ambos com vetor normal n=(a,b,c). O primeiro é
pi: a x + b y + c z = d
e o segundo é
pi': a x + b y + c z = d'
Queremos a distância entre esses dois planos.

Passo 2

Escolho um ponto qualquer P=(x0,y0,z0) sobre o plano pi. Por definição, esse ponto satisfaz a x0 + b y0 + c z0 = d. A distância de P ao plano pi' é dada pela fórmula
dist(P,pi') =l|a x0 + b y0 + c z0 - d'r|raiza^2+b^2+c^2
Como a x0 + b y0 + c z0 = d, o numerador vira lvert d - d'rvert. Logo a distância entre os planos é
lvert d - d'rvertraiza^2+b^2+c^2

Resposta

boxedlvert d - d'rvertraiza^2 + b^2 + c^2

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