Qual é o ângulo entre:
As retas lx=t+3 y=2 t+2 z=-t+1, t in R e lx=s+3 y=-s+8 z=-s+1 , s in R ?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. Para isso, vamos usar o fato de que o ângulo entre duas retas é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores e a fórmula
costheta = |v1cdot v2||v1|,|v2|

Passo 2

Extraímos os vetores diretores a partir das equações:
para a primeira reta, x=t+3, y=2t+2, z=-t+1, o vetor diretor é
v1 = (1,,2,,-1)
Para a segunda reta, x=s+3, y=-s+8, z=-s+1, o vetor diretor é
v2 = (1,,-1,,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
v1cdot v2 = 1cdot1 + 2cdot(-1) + (-1)cdot(-1) = 1 - 2 + 1 = 0

Passo 4

Calculamos as normas:
|v1| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz6, |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3

Passo 5

Substituindo na fórmula de cosseno:
costheta = |0|raiz6,raiz3 = 0 Longrightarrow theta = 90^circ

Resposta

O ângulo entre as retas é 90^circ.

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