Ache o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-2)^2 nn 5^2 n.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-2)^2nn cdot 5^2n . Isso está relacionado ao estudo de séries e intervalos de convergência em matemática. Vamos precisar usar o Teste da Raiz para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = (x-2)^2nn cdot 5^2n . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz, que nos diz que uma série sum an converge se limn to infty raiz[n]|an| < 1 . Então, vamos calcular esse limite:
L = limn to infty raiz[n]| (x-2)^2nn cdot 5^2n |

Passo 4

Simplificando dentro da raiz, temos:
L = limn to infty |x-2|^25^2 cdot raiz[n]1n
Sabemos que raiz[n]1n = 1n^1/n e, conforme n cresce, n^1/n tende a 1. Então:
L = (x-2)^225 cdot 1 = (x-2)^225

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
(x-2)^225 < 1
Multiplicando ambos os lados por 25:
(x-2)^2 < 25

Passo 6

Agora, vamos resolver essa desigualdade. Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
|x-2| < 5
Isso significa que:
-5 < x - 2 < 5
Adicionando 2 em todas as partes da desigualdade:
-3 < x < 7

Passo 7

Até aqui, descobrimos que a série converge para x no intervalo -3 < x < 7 . Mas precisamos verificar os pontos finais x = -3 e x = 7 para ver se a série converge nesses valores.

Passo 8

Para x = -3 :
an = (-3 - 2)^2nn cdot 5^2n = 25^nn cdot 25^n = 1n
Isso resulta na série harmônica sum 1n , que não converge.
Para x = 7 :
an = (7 - 2)^2nn cdot 5^2n = 25^nn cdot 25^n = 1n
Novamente, temos a série harmônica sum 1n , que não converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -3 < x < 7 .

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