Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries e intervalos de convergência em matemática. Vamos precisar usar o Teste da Raiz para determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz, que nos diz que uma série converge se . Então, vamos calcular esse limite:
Passo 4
Simplificando dentro da raiz, temos:
L = limn to infty |x-2|^25^2 cdot raiz[n]1n
Sabemos que raiz[n]1n = 1n^1/n e, conforme n cresce, n^1/n tende a 1. Então:
L = (x-2)^225 cdot 1 = (x-2)^225
Passo 5
Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
(x-2)^225 < 1
Multiplicando ambos os lados por 25:
(x-2)^2 < 25
Passo 6
Agora, vamos resolver essa desigualdade. Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
|x-2| < 5
Isso significa que:
-5 < x - 2 < 5
Adicionando 2 em todas as partes da desigualdade:
-3 < x < 7
Passo 7
Até aqui, descobrimos que a série converge para x no intervalo -3 < x < 7 . Mas precisamos verificar os pontos finais x = -3 e x = 7 para ver se a série converge nesses valores.