Qual a expansão em série de Taylor da função f(x)=1x em torno do ponto x=7?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Você quer encontrar a expansão em série de Taylor da função f(x) = 1x em torno do ponto x = 7 . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente do estudo das séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto a é uma soma infinita que aproxima a função usando derivadas de f avaliadas em a . A fórmula geral é:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots

Passo 3

No nosso caso, a função é f(x) = 1x e o ponto a = 7 . Vamos começar calculando f(a) :
f(7) = 17

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas de f(x) e avaliá-las em a = 7 . Vamos calcular as primeiras derivadas:
Primeira derivada:
f'(x) = -1x^2
Então,
f'(7) = -17^2 = -149
Segunda derivada:
f''(x) = 2x^3
Então,
f''(7) = 27^3 = 2343
Terceira derivada:
f'''(x) = -6x^4
Então,
f'''(7) = -67^4 = -62,401
E assim por diante.

Passo 5

Agora que temos f(a) e as derivadas avaliadas em a = 7 , podemos montar a série de Taylor:
f(x) = 17 - 149(x - 7) + 2343 cdot (x - 7)^22! - 62,401 cdot (x - 7)^33! + dots
Simplificando os coeficientes:
f(x) = 17 - 149(x - 7) + 1343(x - 7)^2 - 1800.333(x - 7)^3 + dots

Resposta

A expansão em série de Taylor da função f(x) = 1x em torno de x = 7 é:
f(x) = 17 - 149(x - 7) + 1343(x - 7)^2 - 1800.333(x - 7)^3 + dots

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