Qual a expansão em série de Taylor da função
em torno do ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Você quer encontrar a expansão em série de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente do estudo das séries de Taylor, que são usadas para aproximar funções por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é uma soma infinita que aproxima a função usando derivadas de
avaliadas em
. A fórmula geral é:
Passo 3
No nosso caso, a função é
e o ponto
. Vamos começar calculando
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e avaliá-las em
. Vamos calcular as primeiras derivadas:
Primeira derivada:
Então,
Segunda derivada:
Então,
Terceira derivada:
Então,
E assim por diante.
Passo 5
Agora que temos
e as derivadas avaliadas em
, podemos montar a série de Taylor:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A expansão em série de Taylor da função
em torno de
é: