Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
integral raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizx^2+1,dx usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolve raízes do tipo raizx^2+a^2, e vamos usar a relação x = atantheta para simplificar a expressão. Também precisaremos lembrar das identidades trigonométricas e da técnica de integração por partes para funções trigonométricas.

Passo 2

Para aplicar a substituição, como a=1, definimos
x = tantheta
dx = sec^2theta,dtheta
raizx^2+1 = sectheta

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, temos
integral raizx^2+1,dx = integral sectheta cdot sec^2theta,dtheta = integral sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integral sec^3theta,dtheta, usamos integração por partes. Tomamos u = sectheta e dv = sec^2theta,dtheta. Daí
du &= secthetatantheta,dtheta, v &= tantheta
Então
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral secthetatan^2theta,dtheta
Como tan^2theta = sec^2theta - 1, segue-se
integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integral sectheta(sec^2theta - 1),dtheta = secthetatantheta - integral sec^3theta,dtheta + integral sectheta,dtheta
Isolando o integral de sec^3theta, obtemos
2integral sec^3theta,dtheta = secthetatantheta + integral sectheta,dtheta
e lembrando que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar|,
concluímos
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(secthetatantheta + lnl|sectheta + tanthetar|r) + C

Passo 5

Finalmente, voltamos para a variável x usando tantheta = x e sectheta = raizx^2+1. Essa substituição nos dá o resultado final da integral em termos de x.

Resposta

tfrac12,xraizx^2+1 + tfrac12,lnl|x + raizx^2+1r| + C

Exercícios relacionados