Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolve raízes do tipo , e vamos usar a relação para simplificar a expressão. Também precisaremos lembrar das identidades trigonométricas e da técnica de integração por partes para funções trigonométricas.
Passo 2
Para aplicar a substituição, como , definimos
Passo 3
Substituindo tudo na integral original, temos
Passo 4
Para calcular , usamos integração por partes. Tomamos e . Daí
Então
Como , segue-se
Isolando o integral de , obtemos
e lembrando que
concluímos
integral sec^3theta,dtheta = tfrac12l(secthetatantheta + lnl|sectheta + tanthetar|r) + C
Passo 5
Finalmente, voltamos para a variável x usando tantheta = x e sectheta = raizx^2+1. Essa substituição nos dá o resultado final da integral em termos de x.
Resposta
tfrac12,xraizx^2+1 + tfrac12,lnl|x + raizx^2+1r| + C