Estenda a função f(x)-x+4, 0<x<4, a toda a reta, para que ela seja par e periódica de período 8. Ache sua série de Fourier.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem uma função definida por f(x) = x + 4 no intervalo 0 < x < 4 . O que precisamos fazer é estender essa função para toda a reta de maneira que ela seja par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período 8. Depois disso, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções pares, periodicidade e como calcular a série de Fourier para funções periódicas pares.

Passo 2

Estendendo a Função para Ser Par
Primeiro, vamos estender a função f(x) = x + 4 para todo o intervalo, garantindo que ela seja par. Uma função é par se f(-x) = f(x) . Então, para -4 < x < 0 , definimos:
f(-x) = f(x) implies f(x) = -x + 4 para -4 < x < 0
Assim, agora temos a função definida de -4 a 4 , e ela é par.

Passo 3

Tornando a Função Periódica com Período 8
Para que a função seja periódica com período 8, precisamos replicar o padrão que já temos de -4 a 4 em cada intervalo de comprimento 8. Ou seja, a função se repete a cada 8 unidades ao longo do eixo x.
Então, a função completa fica definida para toda a reta como:
f(x + 8) = f(x) para todo x

Passo 4

Configurando o Intervalo de Trabalho
Como o período T = 8 , o intervalo fundamental é de -4 a 4 . Vamos usar esse intervalo para calcular os coeficientes da série de Fourier. Como a função é par e periódica, nossa série de Fourier terá apenas termos de cosseno.

Passo 5

Calculando o Coeficiente a0
O coeficiente a0 representa a média da função no período e é calculado por:
a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx
onde L = 4 . Então,
a0 = 14 ( integral-4^0 (-x + 4) , dx + integral0^4 (x + 4) , dx )
Vamos calcular cada integral:
Para -4 < x < 0 :
integral-4^0 (-x + 4) , dx = [ -12x^2 + 4x ]-4^0 = (0 + 0) - (-12(16) + 4(-4)) = 0 - (-8 -16) = 24
Para 0 < x < 4 :
integral0^4 (x + 4) , dx = [ 12x^2 + 4x ]0^4 = (8 + 16) - 0 = 24
Então,
a0 = 14 (24 + 24) = 484 = 12

Passo 6

Calculando os Coeficientes an
Os coeficientes an são calculados por:
an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx
Substituindo L = 4 :
an = 14 ( integral-4^0 (-x + 4) cos(npi x4) dx + integral0^4 (x + 4) cos(npi x4) dx )
Devido à simetria par, podemos simplificar para:
an = 24 integral0^4 (x + 4) cos(npi x4) dx = 12 integral0^4 (x + 4) cos(npi x4) dx
Vamos calcular essa integral por partes.
Integração por Partes
Vamos definir:
u = x + 4 Rightarrow du = dx
dv = cos(npi x4) dx Rightarrow v = 4npi sin(npi x4)
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
an = 12 [ (x + 4) cdot 4npi sin(npi x4) |0^4 - integral0^4 4npi sin(npi x4) dx ]
Calculando os limites:
Para x = 4 :
(x + 4) sin(npi cdot 44) = 8 sin(npi) = 0
Para x = 0 :
(0 + 4) sin(0) = 0
Então, a primeira parte é zero. Ficamos com:
an = -12 cdot 4npi integral0^4 sin(npi x4) dx = -2npi [ -4npi cos(npi x4) |0^4 ] = 8(npi)^2 ( cos(npi) - 1 )
Simplificando cos(npi) = (-1)^n :
an = 8(npi)^2 ( (-1)^n - 1 )

Passo 7

Montando a Série de Fourier
Agora que temos a0 = 12 e an = 8(npi)^2 ( (-1)^n - 1 ) , a série de Fourier fica:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi x4) = 6 + sumn=1^infty 8(npi)^2 ( (-1)^n - 1 ) cos(npi x4)

Resposta

A série de Fourier da função f(x) estendida é:
f(x) = 6 + sumn=1^infty 8 ( (-1)^n - 1 )(npi)^2 cos(npi x4)

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