Estenda a função , a toda a reta, para que ela seja par e periódica de período 8. Ache sua série de Fourier.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
A gente tem uma função definida por no intervalo . O que precisamos fazer é estender essa função para toda a reta de maneira que ela seja par (ou seja, simétrica em relação ao eixo y) e periódica com período 8. Depois disso, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções pares, periodicidade e como calcular a série de Fourier para funções periódicas pares.
Passo 2
Estendendo a Função para Ser Par
Primeiro, vamos estender a função para todo o intervalo, garantindo que ela seja par. Uma função é par se . Então, para , definimos:
Assim, agora temos a função definida de a , e ela é par.
Passo 3
Tornando a Função Periódica com Período 8
Para que a função seja periódica com período 8, precisamos replicar o padrão que já temos de a em cada intervalo de comprimento 8. Ou seja, a função se repete a cada 8 unidades ao longo do eixo x.
Então, a função completa fica definida para toda a reta como:
Passo 4
Configurando o Intervalo de Trabalho
Como o período , o intervalo fundamental é de a . Vamos usar esse intervalo para calcular os coeficientes da série de Fourier. Como a função é par e periódica, nossa série de Fourier terá apenas termos de cosseno.
Passo 5
Calculando o Coeficiente
O coeficiente representa a média da função no período e é calculado por: