Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=3 x1+3 x. Use essa série para determinar a série da função f(x)=3(3 x+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve séries de Maclaurin. A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função f(x) = 3x1+3x e depois usar essa série para determinar a série da função f(x) = 3(1+3x)^2 . Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin e como aplicá-la a essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de x = 0 . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função f(x) é:
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3 + dots
Mas, em muitos casos, especialmente para funções racionais, podemos encontrar a série de Maclaurin usando a expansão de séries geométricas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a série de Maclaurin para f(x) = 3x1+3x . Podemos reescrever essa função como:
f(x) = 3x cdot 11 + 3x
A série geométrica famosa é:
11 - u = 1 + u + u^2 + u^3 + dots para |u| < 1
Aqui, temos 11 + 3x , que pode ser vista como 11 - (-3x) . Assim, podemos substituir u por -3x :
11 + 3x = 11 - (-3x) = 1 - 3x + (3x)^2 - (3x)^3 + dots
Multiplicando essa série por 3x :
f(x) = 3x cdot (1 - 3x + 9x^2 - 27x^3 + dots ) = 3x - 9x^2 + 27x^3 - 81x^4 + dots
Então, a série de Maclaurin para 3x1+3x é:
f(x) = 3x - 9x^2 + 27x^3 - 81x^4 + dots

Passo 4

Agora, vamos usar essa série para encontrar a série da função f(x) = 3(1+3x)^2 . Observamos que:
3(1+3x)^2 = 3 cdot (11+3x)^2
Sabemos que se temos a série para 11+3x , podemos derivá-la para obter a série de 1(1+3x)^2 . Vamos derivar a série que encontramos no Passo 3:
f(x) = 3x - 9x^2 + 27x^3 - 81x^4 + dots
Derivando termo a termo:
f'(x) = 3 - 18x + 81x^2 - 324x^3 + dots
Mas isso representa a derivada de 3x1+3x . Para encontrar 1(1+3x)^2 , devemos notar que:
ddx(11+3x) = -3(1+3x)^2
Portanto:
3(1+3x)^2 = -f'(x)
Então, multiplicando a derivada encontrada por -1:
3(1+3x)^2 = -(3 - 18x + 81x^2 - 324x^3 + dots ) = -3 + 18x - 81x^2 + 324x^3 - dots

Resposta

A série de Maclaurin da função 3(1+3x)^2 é:
3(1+3x)^2 = -3 + 18x - 81x^2 + 324x^3 - dots

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