Encontre a série de Maclaurin da função
. Use essa série para determinar a série da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve séries de Maclaurin. A questão pede para a gente encontrar a série de Maclaurin da função
e depois usar essa série para determinar a série da função
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série de Maclaurin e como aplicá-la a essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função em torno de
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Mas, em muitos casos, especialmente para funções racionais, podemos encontrar a série de Maclaurin usando a expansão de séries geométricas.
Passo 3
Vamos começar encontrando a série de Maclaurin para
. Podemos reescrever essa função como:
A série geométrica famosa é:
Aqui, temos
, que pode ser vista como
. Assim, podemos substituir
por
:
Multiplicando essa série por
:
Então, a série de Maclaurin para
é:
Passo 4
Agora, vamos usar essa série para encontrar a série da função
. Observamos que:
Sabemos que se temos a série para
, podemos derivá-la para obter a série de
. Vamos derivar a série que encontramos no Passo 3:
Derivando termo a termo:
Mas isso representa a derivada de
. Para encontrar
, devemos notar que:
Portanto:
Então, multiplicando a derivada encontrada por -1:
Resposta
A série de Maclaurin da função
é: