Ache o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x-1)^2 nn 3^2 n.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(x-1)^2nn,3^2n
O conteúdo aqui é análise de séries de potências, então vamos usar o teste da raiz (ou do quociente) para achar o raio de convergência e, em seguida, testar os extremos.

Passo 2

Para simplificar, defina
t = (x-1)^2,
de modo que a série fica
sumn=1^inftyt^nn,3^2n =sumn=1^infty(t/9)^nn

Passo 3

Aplique o teste da raiz: seja an=(t/9)^n/n. Então
limntoinftyl|anr|^1/n =limntoinfty|t/9|n^1/n =|t/9|
Converge absolutamente se |t/9|<1, ou seja,
|t|<9

Passo 4

Voltando a x, temos |(x-1)^2|<9, isto é,
|x-1|<3
e portanto
-2<x<4

Passo 5

Nos extremos x=-2 ou x=4 temos |x-1|=3 e a série vira
sumn=1^infty9^nn,9^n =sumn=1^infty1n,
que diverge (série harmônica). Logo, os extremos não entram no intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,4).

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