Mostre que
cos (k t)=ss^2+k;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de cos(k t) é
Lcos(k t)(s)=ss^2+k^2
Aqui o conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar definição, linearidade e a transformada de exponencial.

Passo 2

Pela definição de Laplace, temos
Lcos(k t)(s) =integral0^inftye^-s tcos(k t),dt

Passo 3

Usamos a identidade de Euler para cosseno:
cos(k t)=e^i k t+e^-i k t2
Substituindo na integral,
integral0^inftye^-s tcos(k t),dt =12integral0^inftye^-s tl(e^i k t+e^-i k tr),dt

Passo 4

Pela linearidade da integral, separam-se dois termos:
12integral0^inftye^-(s-i k)t,dt ;+;12integral0^inftye^-(s+i k)t,dt

Passo 5

Para Re(s)>0, a integral de e^-alpha t de 0 a infty vale 1/alpha. Assim
12l(1s - i k+1s + i kr) =12,(s+i k)+(s-i k)(s - i k)(s + i k) =ss^2+k^2

Resposta

Lcos(k t)(s)=ss^2+k^2

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