Encontre a série de Maclaurin da função
. Use essa série para determinar a série da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função
e, depois, usar essa série para determinar a série da função
.
Para isso, vamos usar o conceito de série de Maclaurin, que é uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Também vamos usar a série geométrica, que é uma série muito útil para funções do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a série de Maclaurin para
.
A gente pode reescrever essa função da seguinte maneira:
Agora, observe que
é parecido com a forma da série geométrica
, onde
. A série geométrica diz que:
desde que
.
Aplicando isso na nossa função:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos usar a série que encontramos para determinar a série de
.
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Vamos derivar a série que encontramos para
:
Derivando termo a termo:
Multiplicando por -1 para obter
:
Resposta
A série de Maclaurin para
é: