Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=2 x1+2 x. Use essa série para determinar a série da função f(x)=2(2 x+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função f(x) = 2x1 + 2x e, depois, usar essa série para determinar a série da função f(x) = 2(1 + 2x)^2 .
Para isso, vamos usar o conceito de série de Maclaurin, que é uma maneira de expressar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Também vamos usar a série geométrica, que é uma série muito útil para funções do tipo 11 - r .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Maclaurin para f(x) = 2x1 + 2x .
A gente pode reescrever essa função da seguinte maneira:
f(x) = 2x1 + 2x = 2x cdot 11 + 2x
Agora, observe que 11 + 2x é parecido com a forma da série geométrica 11 - r , onde r = -2x . A série geométrica diz que:
11 - r = sumn=0^infty r^n
desde que |r| < 1 .
Aplicando isso na nossa função:
11 + 2x = 11 - (-2x) = sumn=0^infty (-2x)^n
Então, substituindo de volta na expressão de f(x) :
f(x) = 2x cdot sumn=0^infty (-2x)^n
f(x) = sumn=0^infty 2x cdot (-2x)^n
f(x) = sumn=0^infty 2 (-2)^n x^n+1

Passo 3

Agora, vamos usar a série que encontramos para determinar a série de f(x) = 2(1 + 2x)^2 .
Sabemos que:
ddx ( 11 + 2x ) = -2(1 + 2x)^2
Multiplicando ambos os lados por -1:
2(1 + 2x)^2 = -ddx ( 11 + 2x )
Vamos derivar a série que encontramos para 11 + 2x :
11 + 2x = sumn=0^infty (-2x)^n
Derivando termo a termo:
ddx ( 11 + 2x ) = sumn=0^infty ddx [(-2x)^n]
= sumn=1^infty n (-2)^n x^n-1
Multiplicando por -1 para obter 2(1 + 2x)^2 :
2(1 + 2x)^2 = - sumn=1^infty n (-2)^n x^n-1
= sumn=1^infty n 2^n (-1)^n x^n-1

Resposta

A série de Maclaurin para 2(1 + 2x)^2 é:
2(1 + 2x)^2 = sumn=1^infty n cdot 2^n cdot (-1)^n cdot x^n-1

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