Qual a expancāo em série de Taylor da função em torno do ponto ?
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de em torno de . O conteúdo é a definição de série de Taylor centrada em e o cálculo de derivadas sucessivas de avaliadas em .
Passo 2
A definição de série de Taylor de uma função em torno de é
Para usar essa fórmula, precisamos encontrar uma expressão geral para .
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas e perceber o padrão:
de onde, por indução,
Passo 4
Agora avaliamos em :
Substituindo na série de Taylor,
Passo 5
Em forma alternativa, note que
e pela série geométrica
chegamos à mesma expansão. O raio de convergência é dado por , isto é, |x-5|<5.
Resposta
boxed 1x =sumn=0^infty(-1)^n5^,n+1,(x-5)^n, válido para |x-5|<5 á