Qual a expancāo em série de Taylor da função f(x)=1x em torno do ponto x=5?

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(x)=tfrac1x em torno de x=5. O conteúdo é a definição de série de Taylor centrada em a e o cálculo de derivadas sucessivas de f avaliadas em a=5.

Passo 2

A definição de série de Taylor de uma função f em torno de a é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!,(x-a)^n
Para usar essa fórmula, precisamos encontrar uma expressão geral para f^(n)(x).

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas e perceber o padrão:
f(x)=x^-1, f'(x)=-1,x^-2, f''(x)=(-1)(-2),x^-3=2!,x^-3, f'''(x)=(-1)(-2)(-3),x^-4=-3!,x^-4,
de onde, por indução,
f^(n)(x)=(-1)^n,n!,x^-(n+1)

Passo 4

Agora avaliamos em x=5:
f^(n)(5)=(-1)^n,n!,5^-(n+1)
Substituindo na série de Taylor,
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n,n!,5^-(n+1)n!,(x-5)^n =sumn=0^infty(-1)^n5^,n+1,(x-5)^n

Passo 5

Em forma alternativa, note que
1x=15,11+x-55
e pela série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^nu^n, u=x-55,
chegamos à mesma expansão. O raio de convergência é dado por l|tfracx-55r|<1, isto é, |x-5|<5.

Resposta

boxed 1x =sumn=0^infty(-1)^n5^,n+1,(x-5)^n, válido para |x-5|<5 á

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