Uma função f é de ordem exponencial se existem números c, M>0 e T>0 tais que |f(t)| <= M e^c t para todo t>T. Mostre que, se f é de ordem exponencial então a transformada de Laplace de f existe para s>c.

Passo 1

O enunciado diz que f é de ordem exponencial: existem constantes c>0, M>0 e T>0 tais que
|f(t)| <= M e^c t para todo t > T
Queremos mostrar que a transformada de Laplace
Lf(s) =integral0^inftyf(t)e^-st,dt
converge (absolutamente) sempre que s>c.

Passo 2

Primeiro, separamos o integral em duas partes:
integral0^infty|f(t)|e^-st,dt =integral0^T|f(t)|e^-st,dt +integralT^infty|f(t)|e^-st,dt
Na faixa 0<= t<= T temos |f(t)|<= M e^c t<= M e^cT. Logo,
integral0^T|f(t)|e^-st,dt <= integral0^TM e^cTe^-st,dt = M e^cTintegral0^Te^-st,dt <= M e^cT,T,
que é finito para qualquer s.

Passo 3

Agora, para t>= T usamos o crescimento exponencial dado:
|f(t)|e^-st<= M e^c te^-st = M e^-(s-c)t
Como s>c, o expoente -(s-c) é negativo, e então
integralT^infty|f(t)|e^-st,dt <= M integralT^inftye^-(s-c)t,dt = M[e^-(s-c)t-(s-c)]t=T^ttoinfty =M,e^-(s-c)Ts-c,
que é finito sempre que s-c>0.

Passo 4

Juntando as duas estimativas, vemos que
integral0^infty|f(t)|e^-st,dt < M e^cTT + M,e^-(s-c)Ts-c < infty
sempre que s>c. Portanto a transformada de Laplace existe para s>c.

Resposta

A transformada de Laplace de f converge (existe) para todo s>c.

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