Uma função
é de ordem exponencial se existem números
e
tais que
para todo
. Mostre que, se
é de ordem exponencial então a transformada de Laplace de
existe para
.
Passo 1
O enunciado diz que
é de ordem exponencial: existem constantes
,
e
tais que
Queremos mostrar que a transformada de Laplace
converge (absolutamente) sempre que
.
Passo 2
Primeiro, separamos o integral em duas partes:
Na faixa
temos
. Logo,
que é finito para qualquer
.
Passo 3
Agora, para
usamos o crescimento exponencial dado:
Como
, o expoente
é negativo, e então
que é finito sempre que
.
Passo 4
Juntando as duas estimativas, vemos que
sempre que
. Portanto a transformada de Laplace existe para
.
Resposta
A transformada de Laplace de
converge (existe) para todo
.