Ache o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty 2^n(2n)!,x^2n. O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o critério da razão para achar o raio (e intervalo) de convergência.

Passo 2

Considere o termo geral Tn = 2^n(2n)!,x^2n. Aplicando o teste da razão, calculemos
|Tn+1Tn| = |2^n+1(2n+2)!,x^2n+2 ;midd<=/; 2^n(2n)!,x^2n| = 2,|x|^2(2n+2)(2n+1),

Passo 3

Observe que
limntoinfty 2,|x|^2(2n+2)(2n+1) = 0
para todo xinR. Como esse limite é menor que 1 para qualquer x, a série converge para todo valor de x.

Passo 4

Logo, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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