Calcule
integral duplaS y z d S
em que S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4, que está acima do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
integral duplaS y z , dS
onde $ S $ é a parte da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ S $ que estamos integrando. Temos uma esfera de raio 2 (já que $ 4 = 2^{2} $) e um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Queremos a parte da esfera que está acima desse cone.
Para visualizar, imagine a esfera e o cone se interceptando. A interseção será um círculo, e queremos a “tampa” da esfera acima desse círculo.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por:
  • $ x = r \sin\phi \cos\theta $
  • $ y = r \sin\phi \sin\theta $
  • $ z = r \cos\phi $
Onde:
  • $ r $ é a distância do ponto à origem,
  • $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $,
  • $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $.
Nossa esfera tem raio $ r = 2 $, então $ r $ será constante.

Passo 4

Vamos determinar os limites para $ \phi $ que correspondem à parte da esfera acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
No cone, temos $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
phi
Então, $ \phi $ varia de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{4} $ para estarmos acima do cone.

Passo 5

A integral de superfície em coordenadas esféricas com $ r = 2 $ é dada por:
r = 2
No nosso caso, $ f(x, y, z) = y z $. Vamos expressar isso em coordenadas esféricas:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^pi/4 f(r, phi, theta) cdot r^2 sinphi , dphi , dtheta

Passo 6

Substituindo $ f $ e $ r = 2 $ na integral, temos:
f
Simplificando:
r = 2
integral duplaS y z , dS = integral0^2pi integral0^pi/4 (2)^2 sinphi cosphi sintheta cdot (2)^2 sinphi , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a $ \phi $ primeiro:
phi
Fazemos a substituição $ u = \sin\phi $, então $ du = \cos\phi , d\phi $. Quando $ \phi = 0 $, $ u = 0 $; e quando $ \phi = \pi/4 $, $ u = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
A integral fica:
integral0^pi/4 sin^2phi cosphi , dphi

Passo 8

Agora, a integral completa fica:
16 cdot raiz224 integral0^2pi sintheta , dtheta
Calculando a integral de $ \sin\theta $ de 0 a $ 2\pi $:
sintheta

Resposta

O valor da integral é 0.

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