Calcule
em que
é a parte da esfera
, que está acima do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
onde $ S $ é a parte da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ S $ que estamos integrando. Temos uma esfera de raio 2 (já que $ 4 = 2^{2} $) e um cone dado por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Queremos a parte da esfera que está acima desse cone.
Para visualizar, imagine a esfera e o cone se interceptando. A interseção será um círculo, e queremos a “tampa” da esfera acima desse círculo.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por:
- $ x = r \sin\phi \cos\theta $
- $ y = r \sin\phi \sin\theta $
- $ z = r \cos\phi $
Onde:
- $ r $ é a distância do ponto à origem,
- $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $,
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $.
Nossa esfera tem raio $ r = 2 $, então $ r $ será constante.
Passo 4
Vamos determinar os limites para $ \phi $ que correspondem à parte da esfera acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $.
No cone, temos $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Em coordenadas esféricas, isso fica:
Então, $ \phi $ varia de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{4} $ para estarmos acima do cone.
Passo 5
A integral de superfície em coordenadas esféricas com $ r = 2 $ é dada por:
No nosso caso, $ f(x, y, z) = y z $. Vamos expressar isso em coordenadas esféricas:
Passo 6
Substituindo $ f $ e $ r = 2 $ na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Vamos integrar em relação a $ \phi $ primeiro:
Fazemos a substituição $ u = \sin\phi $, então $ du = \cos\phi , d\phi $. Quando $ \phi = 0 $, $ u = 0 $; e quando $ \phi = \pi/4 $, $ u = \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
A integral fica:
Passo 8
Agora, a integral completa fica:
Calculando a integral de $ \sin\theta $ de 0 a $ 2\pi $:
Resposta
O valor da integral é 0.