Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o teorema 3.8.
4. \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz (se ela existir) usando o teorema 3.8. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
a_{11}=0,\quad a_{12}=1,\quad a_{21}=-1,\quad a_{22}=0.
Objetivo final: encontrar A^{-1} (ou concluir que não existe).]

Passo 2

Vou enunciar e explicar o que normalmente é chamado de teorema usado para matrizes 2\times2 (o texto do teorema 3.8 que o enunciado manda aplicar): para uma matriz
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Se \det(M)\neq 0, então M é invertível e a sua inversa é dada por
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Explicando com calma: o determinante \det(M) é um número que mede se as linhas (ou colunas) são linearmente independentes; para matrizes 2\times2 basta checar se \det(M) é diferente de zero. A fórmula da inversa usa a matriz adjunta (troca de a e d e sinais em b,c) dividida pelo determinante. É uma fórmula prática para aplicar na prova sem muita complicação.]

Passo 3

Agora identifico os elementos da nossa matriz A com a,b,c,d da fórmula:
a=0,\quad b=1,\quad c=-1,\quad d=0.
Calculo o determinante usando \det(A)=ad-bc:
\det(A)=(0)(0)-(1)(-1)=0-(-1)=1.
Portanto \det(A)=1. Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e a inversa existe.

Passo 4

Aplico a fórmula da inversa para 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Substituindo os valores e \det(A)=1,
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Faço uma checagem rápida multiplicando A por A^{-1} para ver se dá a matriz identidade I. Calculo AA^{-1}:
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot(-1)+1\cdot 0\\[4pt]-1\cdot 0 + 0\cdot 1 & -1\cdot(-1)+0\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Deu a identidade, então a inversa está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}]

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