Quais das seguintes matrizes são antissimétricas?
(d) \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz abaixo é antissimétrica (skew‑symmetric):
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\\\ -1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 5 & 0\end{pmatrix}
Informações dadas:
\;A é uma matriz real de dimensão 3\times3 com entradas listadas explicitamente.

Passo 2

Definição e condições (aula curta e prática):
Uma matriz quadrada A é antissimétrica se e somente se
A^{T} = -A.
Aqui A^{T} é a transposta de A (obtida trocando linhas por colunas) e -A é a matriz obtida trocando o sinal de todas as entradas de A. Em termos de entradas, se A=(a_{ij}) então a condição equivale a
a_{ij} = -a_{ji}\quad\text{para todos }i,j.
Consequência imediata: as entradas da diagonal principal devem ser zero, pois para i=j temos a_{ii}=-a_{ii}, o que implica a_{ii}=0.
Exemplo simples para fixar a ideia: uma matriz 2\times2
B=\begin{pmatrix}0 & 3\\\\ -3 & 0\end{pmatrix}
é antissimétrica porque B^{T}=\begin{pmatrix}0 & -3\\\\ 3 & 0\end{pmatrix}=-B.

Passo 3

Calculemos a transposta A^{T} da matriz dada. Tomando linhas como colunas temos
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 5 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos -A trocando o sinal de todas as entradas de A:
- A=\begin{pmatrix}0 & -1 & -2 \\\\ 1 & 0 & -5 \\\\ -2 & -5 & 0\end{pmatrix}.
Agora comparemos A^{T} e -A entrada a entrada. Observamos:
A^{T}_{13}=2\quad\text{enquanto}\quad (-A)_{13}=-2.
Ou, em termos de índices, a_{13}=2 e a_{31}=2, mas a condição antissimétrica exigiria a_{13}=-a_{31}, isto é 2=-2, o que é falso. Assim A^{T}\neq -A.

Passo 5

Conclusão didática: basta verificar pares de entradas simétricas em relação à diagonal ( a_{ij} e a_{ji}). Se algum par não satisfaz a_{ij}=-a_{ji} (ou se alguma entrada diagonal não for zero), a matriz não é antissimétrica. No caso dado, o par (a_{13},a_{31})=(2,2) falha, então a matriz não é antissimétrica.

Resposta

A matriz não é antissimétrica.

Exercícios relacionados