Quais das seguintes matrizes são antissimétricas?
(c) \left[\begin{array}{rrr}0 & 3 & -1 \\\\ -3 & 0 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta se a matriz dada na letra \text{(c)} é antissimétrica. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & -1\\[4pt] -3 & 0 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os nove elementos de A (listados na matriz acima). A pergunta é: essa matriz é antissimétrica?]

Passo 2

Definição e consequência importante (aula rapidinha): uma matriz quadrada A=(a_{ij}) é antissimétrica quando
A^{T}=-A,
onde A^{T} é a transposta de A (linha vira coluna). Em termos dos elementos, isso equivale a duas condições:
a_{ii}=0\quad\text{para todo }i
e
a_{ij}=-a_{ji}\quad\text{para todo }i\neq j.
Explicando: a primeira vem porque da igualdade a_{ii}=-a_{ii} obtemos 2a_{ii}=0, logo a_{ii}=0. A segunda diz que cada elemento acima da diagonal deve ser o negativo do correspondente abaixo da diagonal. Essas são as coisas que vamos checar.

Passo 3

Reescrevo A explicitando os valores por posição (isso ajuda a comparar):
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1\\[4pt] -3 & 0 & 2\\[4pt] 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Logo a_{11}=0, a_{12}=3, a_{13}=-1, a_{21}=-3, a_{22}=0, a_{23}=2, a_{31}=1, a_{32}=-2, a_{33}=0.]

Passo 4

Calculo a transposta A^{T} trocando linhas por colunas (mostro o processo):
A^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\[4pt] a_{12} & a_{22} & a_{32}\\[4pt] a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo -A multiplicando cada entrada de A por -1:
-A=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Comparo A^{T} e -A. Observação: pelas contas acima temos exatamente
A^{T}=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad -A=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\[4pt] 3 & 0 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto A^{T}=-A. Em termos dos pares de entradas: a_{12}=3 e a_{21}=-3 (satisfaz a_{12}=-a_{21}); a_{13}=-1 e a_{31}=1 (satisfaz); a_{23}=2 e a_{32}=-2 (satisfaz). As entradas diagonais são a_{11}=a_{22}=a_{33}=0, como requerido.]

Passo 7

Conclusão e dica de prova: como A^{T}=-A e as condições por elemento foram verificadas, a matriz é antissimétrica. Dica prática para a prova: cheque primeiro se todos os elementos da diagonal são zero (rápido) e depois compare apenas os três pares acima/abaixo da diagonal; se cada par for oposto, pronto — é antissimétrica. Força aí, você já domina esse tipo de verificação!

Resposta

A matriz \text{(c)} é antissimétrica.

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