Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o teorema 3.8.
6. \left[\begin{array}{rr}1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2} \\\\ -1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz (usando o teorema 3.8). A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Pergunta: existe A^{-1}? Se sim, qual é A^{-1}, usando o teorema 3.8?]

Passo 2

Vou explicar o que precisamos do teorema 3.8 de modo didático: esse teorema afirma (numa forma comum) que se as colunas de uma matriz quadrada A formam um conjunto ortonormal, então A é uma matriz ortogonal e sua inversa é a transposta, isto é,
A^{-1}=A^{T}.
“Colunas ortonormais” significa duas coisas para cada par de colunas v_i,v_j:
  1. Produto interno (produto escalar) v_i\cdot v_j=0 quando i\neq j (são ortogonais).
  2. Norma de cada coluna \|v_i\|=1 (são normalizadas).
Agora aplicamos isso à nossa matriz: identifiquemos as colunas
v_1=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificamos ortogonalidade e normalização passo a passo (mostrando as contas explicitamente):
Produto escalar entre v_1 e v_2:
v_1\cdot v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Logo são ortogonais.
Norma ao quadrado de v_1:
\|v_1\|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
portanto \|v_1\|=1.
Norma ao quadrado de v_2:
\|v_2\|^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,
portanto \|v_2\|=1.
Como as colunas são ortogonais e cada uma tem norma 1, as colunas são ortonormais. Pelo teorema 3.8 concluímos que A é ortogonal e que
A^{-1}=A^{T}.

Passo 4

Calculamos explicitamente a transposta A^{T} (troca linhas por colunas):
A^{T}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Para garantir que isso realmente é a inversa, fazemos a multiplicação A\,A^{T} e mostramos que dá a identidade:
A\,A^{T}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\[4pt] -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto A^{T} é de fato a inversa de A.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}]

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