Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o Teorema 3.
\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
usando o Teorema 3, que diz que uma matriz A é invertível se \det(A)\neq 0 e, nesse caso,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).
Vamos primeiro calcular \det(A) e depois \mathrm{adj}(A).

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para uma matriz 2\times2,
\det(A) = a\,d - b\,c
onde A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}. Aqui a=0, b=-1, c=1, d=0, então
\det(A) = 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1.

Passo 3

Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível. Agora formamos a matriz adjunta (ou matriz clássica dos cofatores transposta), que em 2\times2 equivale a trocar a com d e mudar o sinal de b e c:
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b\\\ -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do Teorema 3:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Podemos verificar rapidamente que A\,A^{-1}=I:
\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}

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